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Suma de los cubos de los n primeros números naturales.
Suma de los cubos de los n primeros números naturales. Una demostración algebraica y otra gráfica
En este artículo se deducía que la suma S1=1+2+3+…+n de los n primeros números naturales viene dada por la fórmula
S1=n(n+1)2
También deducíamos que la suma S2=12+22+32+…+n2 de los cuadrados de los n primeros números naturales es
S2=n(n+1)(2n+1)6
Un procedimiento similar permite deducir la suma S3=13+23+33+…+n3 de los cubos de los n primeros números naturales. Veámoslo. Para ello utilizaremos las dos fórmulas anteriores y el desarrollo de un binomio de exponente 4, que es
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
Observemos pues los siguientes desarrollos:
14=(1+0)4=14
24=(1+1)4=14+4⋅13⋅1+6⋅12⋅12+4⋅1⋅13+14
34=(1+2)4=14+4⋅13⋅2+6⋅12⋅22+4⋅1⋅23+24
44=(1+3)4=14+4⋅13⋅3+6⋅12⋅32+4⋅1⋅33+34
……
(n+1)4=(1+n)4=14+4⋅13⋅n+6⋅12⋅n2+4⋅1⋅n3+n4
Sumando el primer miembro y el último de cada una de las igualdades tenemos:
14+24+34+44+…+(n+1)4=(n+1)+4⋅(1+2+3+…+n)+
+6⋅(12+22+32+…+n2)+4⋅(13+23+33+…+n3)+
+(14+24+34+…+n4)
Pasando el último sumando al primer miembro tenemos:
(n+1)4=(n+1)+4⋅S1+6⋅S2+4⋅S3
Y de aquí, sustituyendo y despejando obtenemos una fórmula para la suma S3 de los cubos de los n primeros números naturales.
(n+1)4=(n+1)+4⋅n(n+1)2+6⋅n(n+1)(2n+1)6+4⋅S3⇒
⇒(n+1)4=(n+1)+2n(n+1)+n(n+1)(2n+1)+4S3⇒
⇒4S3=(n+1)[(n+1)3−1−2n−n(2n+1)]=
=(n+1)(n3+3n2+3n+1−1−2n−2n2−n)⇒
⇒4S3=(n+1)(n3+n2)=(n+1)n2(n+1)=n2(n+1)2⇒
⇒S3=n2(n+1)24
Esta es una demostración matemática para obtener una fórmula que permita sumar los cubos de los n primeros números naturales. Por ejemplo la suma de los cubos de los 12 primeros números naturales es:
13+23+33+…+123=122⋅1324=144⋅1694=6084
Si enredamos un “pelín” más observamos que:
S3=n2(n+1)24=n(n+1)2⋅n(n+1)2=S21
Es decir:
13+23+33+43…+n3=(1+2+3+4+…+n)2
Utilizando el símbolo “sumatorio” (la letra griega sigma mayúscula) queda una fórmula muy elegante:
∑x=1nx3=(∑x=1nx)2
Y la fórmula anterior tiene una maravillosa interpretación mediante una imagen que hace poco pude ver en twitter, y que vale más que todas las demostraciones matemáticas que podamos hacer de la fórmula. ¿Puedes verla? Seguro que sí.