Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. ¿Cuál es el área del recinto comprendido entre ambas figuras?
Respuestas
El área comprendida entre ambas figuras es 18(2π - 3√3) ≈19.566 cm²
Para poder determinar esto, debemos saber que el área de un polígono regular de n lados se puede determinar sumando n veces el área formado por un triángulo cuyos lados son:
- un lado del polígono
- un lado yendo desde el centro del polígono a un vértice
- un lado yendo desde el centro del polígono al vértice siguiente
Además los ángulos de cada triángulo serían
- Uno igual a 360/n
- Los otros dos igual a 90(1 - 2/n)
¿Qué pasa con los ángulos cuando n = 6?
Pues tenemos que 360/6 = 6 y 90(1-2/6) = 90(1-1/3) = 60
Es decir, el triángulo es regular, por lo tanto se puede utilizar la fórmula par el área de un triángulo regular, que es
A(Δ) = √3/4 l²
donde l es el lado del triángulo. En nuestro caso l = 6, que es el radio de la circunferencia, lo que daría
A(Δ) = √3/4 l² = A(Δ) = √3/4 6² = A(Δ) = √3/4 *36 = 9√3
Es decir, el área de cada triángulo es 9√3 cm², pero como son 6, tenemos que el área del hexágono es 6*9√3 = 54√3
Ahora, al área de la circunferencia, que es πr² = 6²π = 36π le debemos restar el área del hexágono, es decir, el área entre las figuras es 36π - 54√3 = 18(2π - 3√3)