Question

Máximos y mínimos
f(x)=(x^5/5)-(5x^3/3)+4x

a) Calcula los puntos críticos y de inflexión de f(x).

b) Define los intervalos crecientes y decrecientes.

c) Define los intervalos de concavidad.

d) Clasifica los puntos críticos mediante el criterio de la 2ª derivada como máximos, mínimos o puntos de inflexión.

e) Esboza la gráfica de f(x).

Answer 1

Derivamos la función: 

a) f ' (x) = x^4 - 5 x^2 + 4; igualamos a cero.

Es una ecuación bicuadrada en x: se resuelve con una sustitución: x^2 = z

resulta: z^2 - 5 z + 4 = 0; sus raíces son: z =1, z = 4

Por lo tanto x = - 1, x = - 2, x = 2, x = 1 (cuatro puntos críticos)

El punto de inflexión existe en f ''(x) = 0, siempre que f ''' (x) no valga cero

f ''(x) = 4 x^3 - 10 x = 0; resulta x = 0, x = √(5/2); x = - √(5/2) 
 
f ''' (x) = 12 x^2 - 10; en ninguno de los ceros de  f '' se anula la tercera derivada. Por lo tanto en x = 0, √(5/2) y - √(5/2) existen puntos de inflexión.

Hay máximo si en el punto crítico al segunda derivada es negativa. Si es positiva hay un mínimo

f '' (- 2) = - 12 (máximo):  f '' (- 1) = 6 (mínimo)

f '' (1) = - 6 (máximo); f '' (2) = 12 (mínimo)

b) Una función es creciente en todos los puntos en que su derivada es positiva:

x^4 - 5 x^2 + 4 > 0

Son los intervalos: x < - 2; - 1 < x < 1; x > 2 (creciente)

Por lo tanto en los intervalos 1 < x < 2; - 2 < x < - 1 es decreciente

c) Una función es cóncava hacia abajo en los puntos en que su segunda derivada es negativa.

4 x^3 - 10 x < 0: resulta x < - √10/2; 0 < x <  √10/2

segunda derivada positiva, cóncava hacia arriba.

4 x^3 - 10 x > 0; resulta: - √10/2 < x < 0; x > √10/2

Los valores máximos son (-2, - 16/15) y (1, 38/15)

Los mínimos son (-1, -38/15) y (2, 16/15)

Los puntos de inflexión corresponden con la segunda derivada nula

4x^3 - 10 x = 0; luego x = - √10/2; x = 0; x = √10/2

La tercera derivada en estos puntos no debe ser nula:

f ''' (x) = 12 x^2 - 10; en ninguno de los ceros de la segunda derivada la tercera es nula. Por lo tanto existen puntos de inflexión.

Los puntos de inflexión son.

(- √10/2, - 13/24 √10); (0, 0); (√10/2; 13/24 √10)

o bien: (- 1,58; - 1,71); (1,58; 1,71)

Adjunto gráfica de la función.

Saludos Herminio