Máximos y mínimos
f(x)=(x^5/5)-(5x^3/3)+4x
a) Calcula los puntos críticos y de inflexión de f(x).
b) Define los intervalos crecientes y decrecientes.
c) Define los intervalos de concavidad.
d) Clasifica los puntos críticos mediante el criterio de la 2ª derivada como máximos, mínimos o puntos de inflexión.
e) Esboza la gráfica de f(x).
Respuestas
Respuesta dada por:
30
Derivamos la función:
a) f ' (x) = x^4 - 5 x^2 + 4; igualamos a cero.
Es una ecuación bicuadrada en x: se resuelve con una sustitución: x^2 = z
resulta: z^2 - 5 z + 4 = 0; sus raíces son: z =1, z = 4
Por lo tanto x = - 1, x = - 2, x = 2, x = 1 (cuatro puntos críticos)
El punto de inflexión existe en f ''(x) = 0, siempre que f ''' (x) no valga cero
f ''(x) = 4 x^3 - 10 x = 0; resulta x = 0, x = √(5/2); x = - √(5/2)
f ''' (x) = 12 x^2 - 10; en ninguno de los ceros de f '' se anula la tercera derivada. Por lo tanto en x = 0, √(5/2) y - √(5/2) existen puntos de inflexión.
Hay máximo si en el punto crítico al segunda derivada es negativa. Si es positiva hay un mínimo
f '' (- 2) = - 12 (máximo): f '' (- 1) = 6 (mínimo)
f '' (1) = - 6 (máximo); f '' (2) = 12 (mínimo)
b) Una función es creciente en todos los puntos en que su derivada es positiva:
x^4 - 5 x^2 + 4 > 0
Son los intervalos: x < - 2; - 1 < x < 1; x > 2 (creciente)
Por lo tanto en los intervalos 1 < x < 2; - 2 < x < - 1 es decreciente
c) Una función es cóncava hacia abajo en los puntos en que su segunda derivada es negativa.
4 x^3 - 10 x < 0: resulta x < - √10/2; 0 < x < √10/2
segunda derivada positiva, cóncava hacia arriba.
4 x^3 - 10 x > 0; resulta: - √10/2 < x < 0; x > √10/2
Los valores máximos son (-2, - 16/15) y (1, 38/15)
Los mínimos son (-1, -38/15) y (2, 16/15)
Los puntos de inflexión corresponden con la segunda derivada nula
4x^3 - 10 x = 0; luego x = - √10/2; x = 0; x = √10/2
La tercera derivada en estos puntos no debe ser nula:
f ''' (x) = 12 x^2 - 10; en ninguno de los ceros de la segunda derivada la tercera es nula. Por lo tanto existen puntos de inflexión.
Los puntos de inflexión son.
(- √10/2, - 13/24 √10); (0, 0); (√10/2; 13/24 √10)
o bien: (- 1,58; - 1,71); (1,58; 1,71)
Adjunto gráfica de la función.
Saludos Herminio
a) f ' (x) = x^4 - 5 x^2 + 4; igualamos a cero.
Es una ecuación bicuadrada en x: se resuelve con una sustitución: x^2 = z
resulta: z^2 - 5 z + 4 = 0; sus raíces son: z =1, z = 4
Por lo tanto x = - 1, x = - 2, x = 2, x = 1 (cuatro puntos críticos)
El punto de inflexión existe en f ''(x) = 0, siempre que f ''' (x) no valga cero
f ''(x) = 4 x^3 - 10 x = 0; resulta x = 0, x = √(5/2); x = - √(5/2)
f ''' (x) = 12 x^2 - 10; en ninguno de los ceros de f '' se anula la tercera derivada. Por lo tanto en x = 0, √(5/2) y - √(5/2) existen puntos de inflexión.
Hay máximo si en el punto crítico al segunda derivada es negativa. Si es positiva hay un mínimo
f '' (- 2) = - 12 (máximo): f '' (- 1) = 6 (mínimo)
f '' (1) = - 6 (máximo); f '' (2) = 12 (mínimo)
b) Una función es creciente en todos los puntos en que su derivada es positiva:
x^4 - 5 x^2 + 4 > 0
Son los intervalos: x < - 2; - 1 < x < 1; x > 2 (creciente)
Por lo tanto en los intervalos 1 < x < 2; - 2 < x < - 1 es decreciente
c) Una función es cóncava hacia abajo en los puntos en que su segunda derivada es negativa.
4 x^3 - 10 x < 0: resulta x < - √10/2; 0 < x < √10/2
segunda derivada positiva, cóncava hacia arriba.
4 x^3 - 10 x > 0; resulta: - √10/2 < x < 0; x > √10/2
Los valores máximos son (-2, - 16/15) y (1, 38/15)
Los mínimos son (-1, -38/15) y (2, 16/15)
Los puntos de inflexión corresponden con la segunda derivada nula
4x^3 - 10 x = 0; luego x = - √10/2; x = 0; x = √10/2
La tercera derivada en estos puntos no debe ser nula:
f ''' (x) = 12 x^2 - 10; en ninguno de los ceros de la segunda derivada la tercera es nula. Por lo tanto existen puntos de inflexión.
Los puntos de inflexión son.
(- √10/2, - 13/24 √10); (0, 0); (√10/2; 13/24 √10)
o bien: (- 1,58; - 1,71); (1,58; 1,71)
Adjunto gráfica de la función.
Saludos Herminio
Adjuntos:
foster3332:
Muchas Gracias Herminio :D
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