Question

Un satélite artificial gira entorno a la tierra a una distancia desde su superficie igual a tres veces el radio de esta si sabemos que la masa de la tierra es 5,98*10^24 Kg ¿ Cuál es el periodo de revolución y la velocidad orbital del satélite?
Datos que se deben conocer:
G= 6,67*10^-11 Nm^2/ kg^2 ; R= 6400Km

Answer 1

El periodo de revolucion del satélite es de 7,35 horas  y la velocidad órbital vale 2,37.10⁻⁴ rad/s.

Para resolver el problema se utiliza la ley de gravitación universal de Newton, tal que:

${\displaystyle {\bf F=G.\frac{m_T.m_S}{r^2}}}$

Donde:

F = fuerza con la cual la Tierra atrae al satélite o viceversa = ?

G = constante de gravitación universal = 6,67.10⁻¹¹ Nm²/kg²

mt = masa de la Tierra = 5,98.10²⁴ kg

ms = masa del satélite = ?

r = distancia entre ambos objetos = 3.6400 km = 19200 km = 19,2.10⁶ m

Sustituyendo datos:

${\displaystyle F=6,67.10^{-11} Nm^2/kg^2.\frac{5,98.10^{24}kg.m_S}{(19,2.10^6m)^2}$

Por otra parte el movimiento del satélite, asumiendolo circular y uniforme, establece una aceleración centrípeta que define una fuerza centrípeta sobre el satélite dada por:

${\displaystyle {\bf F_c=m_S.a_c}$

Ya que la fuerza de atracción gravitatoria es igual a la fuerza centrípeta con la que se mueve el satélite, se tiene:

$F= F_c$

La aceleración centrípeta del satélite es:

$\displaystyle {\bf a_c}=6,67.10^{-11} Nm^2/kg^2.\frac{5,98.10^{24}kg}{(19,2.10^6m)^2}={\bf 1,082~m/s^2}$

Para un movimiento circular uniforme:

$\displaystyle {\bf a_c=\omega^2.r=\frac{4\pi^2.r}{T^2}}$

Despejando T:

$\displaystyle {\bf T}=\sqrt{\frac{4\pi^2.r}{a_c}}=\sqrt{\frac{4\pi^2.19,2.10^6m}{1,082~m/s^2}}={\bf 26467,74~seg=7,35~horas}$

Despejando ω:

$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{a_c}{r}}=\sqrt{\frac{1,082~m/s^2}{19,2.10^6m}}=2,37.10^{-4}rad/s$