Question

Favor ayudarme urgente:

Expresa en dos factores y comprueba el resultado

a) r^2-20r=300
b) 3h^2+12=12h
c) 8x^2-48x=216
d) 3z^2+10=17z

Answer 1

En todos los items se aplican técnicas de factorización para ecuaciones de segundo grado. Especificamente, binomios con términos semejantes, binomios cuadrados perfectos y la resolvente o fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado.

Explicación:

a) r²  -  20r  -  300  =  0

Vamos a intentar la técnica de binomios con término semejante:  

(r ± a)(r ± b) donde,  

El signo en el primer factor es el signo del término grado uno en la ecuación y el signo en el segundo factor es el producto de los signos de los términos grado uno y grado cero.  

a y b son dos que sumados (con los signos mencionados) den como resultado el coeficiente del término grado uno y multiplicados den como resultado el coeficiente del término grado cero.  

En el caso que nos ocupa:  

Signo en el primer factor = -  

Signo en el segundo factor = (-)(-) = +  

a = (-30) + (10) = -20  

b = (-30)(10) = -300  

Por tanto  

r²  -  20r  -  300 = (r - 30)(r + 10)       Las raíces son:   r = 30   ∧    r = -10

Comprobación:  

r = 30    ⇒    (30)²  -  20(30)  -  300  =  900  -  600  -  300  =  0

r = -10    ⇒    (-10)²  -  20(-10)  -  300  =  100  +  200  -  300  =  0

b) 3h² - 12h + 12 = 0   ⇒    3(h²  -  4h   +  4)  =  0    ⇒    h²  -  4h   +  4  =  0

La expresión es un cuadrado perfecto. Debemos comprobar que proviene del desarrollo del siguiente producto notable:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

a² =  h²    ⇒    a  =  h

b² = 4    ⇒    b  =  2

2ab  =  2(h)(2)  =  4h  lo que coincide con el término grado uno de la ecuación, por lo tanto:

3(h²  -  4h   +  4)  =  3(h  -  2)²  =  0       Las raíces son:    h = 2    ∧    h = 2

Comprobación:  

h = 2    ⇒    3(2)²  -  12(2)  +  12  =  12  -  24  +  12  =  0

c) 8x² - 48x - 216 = 0    ⇒    8(x²  -  6x  -  27)  =  0    ⇒    x²  -  6x  -  27  =  0

Siguiendo el procedimiento aplicado en a):  

Signo en el primer factor = -  

Signo en el segundo factor = (-)(-) = +  

a = (-9) + (3) = -6  

b = (-9)(3) = -27  

Por tanto  

8(x²  -  6x  -  27)  =  8(x  -  9)(x  +  3)       Las raíces son:     x = 9    ∧    x = -3  

Comprobación:  

x  =  9    ⇒    8[(9)²  -  6(9)  -  27]  =  648  -  432  -  216  =  0

x  =  -3    ⇒    8[(-3)²  -  6(-3)  -  27]  =  72  +  144  -  216  =  0

d) 3z²  -  17z  +  10  =   0

Vamos a aplicar la fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado:  

Sea la ecuación     ±az²  ±  bz  ±  c  =  0                      entonces,  

$\bold{z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$

En el caso que nos ocupa:  

a  =  3         b  =  -17           c  =  10

Sustituyendo en la fórmula

$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-17)\pm\sqrt{(-17)^{2}-4(3)(10)}}{2(3)}\qquad\Rightarrow$

$z=\frac{17\pm\sqrt{169}}{6}=\frac{17\pm13}{6}\qquad\Rightarrow$

Las raíces son:     z  =  5       ∧      z  = ²/₃  

Por tanto         3z²  -  17z  +  10  =  3(z  -  5)(z  -  ²/₃)  

Comprobación:  

z  =  5     ⇒    3(5)²  -  17(5)  +  10  =  75  -  85  +  10  =  0

z  = ²/₃    ⇒    3(²/₃)²  -  17(²/₃)  +  10  =  ⁴/₃  -  ³⁴/₃  +  10  =  0

Answer 2

Respuesta:

Ya que las expresiones en la figura anexa son los cuadrados de los dos términos del binomio, el término faltante en el trinomio dado será el doble producto de los dos términos del binomio al cuadrado original.

Explicación paso a paso:

En la figura anexa se presentan 7 expresiones de dos términos que son los dos términos cuadrados perfectos de un trinomio cuadrado perfecto.

La expresión llamada trinomio cuadrado perfecto proviene del desarrollo del  producto notable conocido como binomio al cuadrado:

(a  ±  b)²  =  a²  ±  2ab  +  b²

Ya que las expresiones en la figura anexa son los cuadrados de los dos términos del binomio, el término faltante en el trinomio dado será el doble producto de los dos términos del binomio al cuadrado original.

Por tanto, el procedimiento a seguir, en los 7 casos, es calcular las raices cuadradas de los dos términos dados y multiplicarlos entre si y por el número 2. Con esto hallaremos el término faltante solicitado en el enunciado, llamado segundo término por su posición en el trinomio ordenado.

a)  1  +    ¿?    +  4b²

Calculamos las raices cuadradas:

√(1)  =  1

√(4b²)  =  2b

El segundo término del trinomio cuadrado perfecto es:

2(1)(2b)  =  4b

(1  +  2b)²  =  1  +  4b  +  4b²

b)  81a²  +    ¿?    +  16c²

Calculamos las raices cuadradas:

√(81a²)  =  9a

√(16c²)  =  4c

El segundo término del trinomio cuadrado perfecto es:

2(9a)(4c)  =  72ac

(1  +  2b)²  =  81a²  +    72ac    +  16c²

c)  144x⁴  +    ¿?    +  49y²

Calculamos las raices cuadradas:

√(144x⁴)  =  12x²

√(49y²)  =  7y

El segundo término del trinomio cuadrado perfecto es:

2(12x²)(7y)  =  168x²y

(12x²  +  7y)²  =  144x⁴  +    168x²y    +  49y²

d)  (1/4)m²n²  +    ¿?    +  (16/9)p⁴q²

Calculamos las raices cuadradas:

√[(1/4)m²n²]  =   (1/2)mn

√[(16/9)p⁴q²]  =  (4/3)p²q

El segundo término del trinomio cuadrado perfecto es:

2[(1/2)mn][(4/3)p²q]  =  (4/3)mnp²q

[(1/2)mn  +  (4/3)p²q]²  =  (1/4)m²n²  +    (4/3)mnp²q    +  (16/9)p⁴q²

e)  0,36x²y²  -    ¿?    +  0,25z⁴

Calculamos las raices cuadradas:

√(0,36x²y²)  =  0,6xy

√(0,25z⁴)  =  -0,5z²  

El segundo término del trinomio cuadrado perfecto es:

2(0,6xy)(-0,5z²)  =  -0,6xyz²

(0,6xy  -  0,5z²)²  =  0,36x²y²  -    0,6xyz²    +  0,25z⁴

f)  4x²ᵇ  +    ¿?    +  196y²ⁿ

Calculamos las raices cuadradas:

√(4x²ᵇ)  =  2xᵇ

√(196y²ⁿ)  =  14yⁿ

El segundo término del trinomio cuadrado perfecto es:

2(2xᵇ)(14yⁿ)  =  56xᵇyⁿ

(2xᵇ  + 14yⁿ)²  =  4x²ᵇ  +    56xᵇyⁿ    +  196y²ⁿ

g)  (4/225)a²ˣ⁺²  +    ¿?    +  b⁴ˣ+²

Calculamos las raices cuadradas:

√[(4/225)a²ˣ⁺²]  =  (2/15)aˣ⁺¹

√(b⁴ˣ+²)  =  b²ˣ⁺¹

El segundo término del trinomio cuadrado perfecto es:

2[(2/15)aˣ⁺¹](b²ˣ⁺¹)  =  (4/15)aˣ⁺¹b²ˣ⁺¹

[(2/15)aˣ⁺¹  +  b²ˣ⁺¹]²  =  (4/225)a²ˣ⁺²  +    (4/15)aˣ⁺¹b²ˣ⁺¹     +  b⁴ˣ+²

Pregunta relacionada:  

Factorización ecuaciones de segundo grado:   brainly.lat/tarea/12649610  

Explicación: