Respuestas
La pelota sube hasta 10 m y cae al piso a una distancia de 19 m desde donde el tenista la golpea.
Explicación paso a paso:
2) Un tenista lanza una pelota que describe una trayectoria parabólica que corresponde a la ecuación h(x) = − 0,1 x² + 1,8 x + 1,9. Observe que x es la distancia horizontal (en metros) a la que se encuentra la pelota, medida desde el punto en que el tenista la lanzó y h(x) es la altura correspondiente (en metros).
a) Determine:
i. Las coordenadas del punto de intersección entre la parábola y el eje de ordenadas. A este punto llámelo C.
El punto de intersección entre la parábola y el eje de ordenadas se obtiene anulando x en la ecuación y calculando el valor de y correspondiente:
h(0) = y = − 0,1 (0)² + 1,8 (0) + 1,9 = 1,9 ⇒ C (0, 1,9)
ii. Las coordenadas de los puntos de intersección entre la parábola y el eje “x”. Al punto que pertenece a la parte positiva del eje “x” llámelo A.
El punto de intersección entre la parábola y el eje "x" se obtiene anulando y en la ecuación y calculando el valor de x correspondiente:
0 = − 0,1 x² + 1,8 x + 1,9 = -0,1( x² - 18 x - 19) = -0,1(x - 19)(x + 1)
La raiz positiva, coordenada correspondiente al punto A, es x = 19.
A (19, 0)
iii. Las coordenadas del vértice V.
Hallamos la ecuación canónica de la parábola:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde :
(h, k) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
y = − 0,1 x² + 1,8 x + 1,9 = -0,1( x² - 18 x - 19) = -0,1[(x - 9)² - 100] ⇒
-10y = (x - 9)² - 100 ⇒ -10y + 100 = (x - 9)² ⇒ (x - 9)² = -10(y - 10)
El vértice es el punto (9, 10)
b) Con los valores obtenidos, complete:
c) C(0 , 1,9) A(19 , 0) V(9 , 10).
d) Represente gráficamente la función definida por h(x) . Señale en la gráfica los puntos C, A y V.
Ver gráfica anexa
e) ¿Desde qué altura partió la pelota al ser lanzada por el tenista?
Parte desde una altura de 1,9 m. Es el punto de corte con el eje "y", ubicación desde donde se empieza a medir el desplazamiento horizontal de la pelota.
f) ¿A qué distancia del punto de lanzamiento la pelota tocará el suelo?
Tocará el suelo a 19 m, posición en la cual la parábola corta al eje "x" en su parte positiva.
g) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?
La altura máxima que alcanza la pelota es 10 m. Es la coordenada "y" del vértice que es el punto más alto de la gráfica de la parábola.
h) ¿Qué altura alcanzará la pelota a una distancia de 18 m desde donde fue lanzada?
Evaluamos h(x) en x = 18:
h(18) = y = − 0,1 (18)² + 1,8 (18) + 1,9 = 1,9
A una distancia de 18 m desde donde fue lanzada, la pelota alcanzará una altura de 1,9 m.
i) En el apartado 2ii) se pide determinar las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola con el eje “x” pero solo se trabaja con punto A ¿Porqué será así ?
La parábola se está usando para modelar el comportamiento de una pelota, por tanto las magnitudes a medir y marcar deben ser positivas o cero para que tengan una explicación en la realidad. Solo se puede trabajar con la parte de la gráfica que se marca en el primer cuadrante.
