Question

Sea Re=R, determine los valores de p para que la ecuacion: 3x^2+(p+1)x+24=0, xeR tenga dos raices tales que la una sea el doble de la otra

Answer 1

Los valores de p que cumple las dos condiciones es p = -19 y p = 17

Para poder simplificar, el desarrollo, vamos a hacer b = p+1 y como δ = √(b² -4*3*24) = √(b²-288)

Teniendo esto en cuenta, sabemos que las soluciones a la ecuación son

$x_1 = \frac{-b + \delta}{6}\\\\x_2 = \frac{-b - \delta}{6}$

Nota: Las soluciones se obtiene de la ecuación general de segundo grado

Sabemos que una de estas es el doble de la otra, por lo que concluimos

$x_2 = 2x_1\\\\\frac{-b - \delta}{6} = 2\frac{-b +\delta}{6}\\\\-b - \delta = -2b + 2\delta\\\\3\delta = b$

Ahora si sustituimos δ y elevamos al cuadrado, tenemos

$\delta = \sqrt{b^2-288} \implies \delta^2 = b^2 - 288\\\\3\delta = b\\9\delta^2 = b^2\\\\9(b^2 - 288) = b^2\\9b^2 - 2592 = b^2\\8b^2 = 2592\\\\b^2 = 324\\\\b = \pm \sqrt{324} = \pm 18$

Ahora, como sabemos que b = p+1 = ± 18, podemos concluir que p = ±18 -1, es decir, p = 18-1 = 17 o p = -18-1 = -19

Por lo que, los valores de p que cumple las dos condiciones es p = -19 y p = 17