Pagué $325.00 pesos por un cuaderno, un lápiz y una goma. El cuaderno costo $80.00 pesos más que el lápiz, y la goma $25.00 pesos menos que el lápiz. Hallar el costo de cada uno.
a) Representar matricialmente el problema
b) Resolver por medio del Metodo Gauss
c) Resolver por medio del Metodo Gauss-Jordan
Respuestas
Resolviendo el sistema de ecuaciones 3x3 por el método de Gauss y por el método de Gauss-Jordan, se obtiene que X= 170, Y=90 y Z=65.
1) Formulamos el sistema de ecuaciones:
X= costo del cuaderno
Y= costo del lápiz
Z= costo de la goma
Planteamos las ecuaciones:
X + Y + Z = 325
X= Y + 80
Z= Y - 25
2) Formamos la matriz, el vector independiente y vector de incógnitas:
A= (1 1 1
1 -1 0
0 -1 1)
B= (325
80
-25)
X= (X
Y
Z)
3) Ampliamos la matriz:
(1 1 1 325
1 -1 0 80
0 -1 1 -25)
4) Aplicamos el método de Gauss:
- Restamos fila 1 menos fila 2 y lo aplicamos a la fila 2:
(1 1 1 325
0 2 1 245
0 -1 1 -25)
- Sumamos fila 2 mas fila 3 y lo aplicamos a la fila 2:
(1 1 1 325
0 1 2 220
0 -1 1 -25)
- Sumamos fila 2 mas fila 3 y lo aplicamos a la fila 3:
(1 1 1 325
0 1 2 220
0 0 3 195)
- Multiplicamos fila 3 por 1/3:
(1 1 1 325
0 1 2 220
0 0 1 65)
Ahora el sistema queda:
X +Y+X=325 (I)
Y+2Z=220 (II)
Z=65
Sustituimos en (II):
Y+2(65)=220
Y=90
Sustituimos en (I):
X+90+65=325
X=170
4) Aplicamos el método de Gauss-Jordan:
- Restamos fila 1 menos fila 2 y lo aplicamos a la fila 2:
(1 1 1 325
0 2 1 245
0 -1 1 -25)
- Sumamos fila 2 mas fila 3 y lo aplicamos a la fila 2:
(1 1 1 325
0 1 2 220
0 -1 1 -25)
- Sumamos fila 2 mas fila 3 y lo aplicamos a la fila 3:
(1 1 1 325
0 1 2 220
0 0 3 195)
- Multiplicamos fila 3 por 1/3:
(1 1 1 325
0 1 2 220
0 0 1 65)
- Restamos fila 2 menos fila 3 y lo aplicamos a la fila 2:
(1 1 1 325
0 1 1 155
0 0 1 65)
- Restamos fila 2 menos fila 3 y lo aplicamos a la fila 2:
(1 1 1 325
0 1 0 90
0 0 1 65)
- Restamos fila 1 menos fila 2 y lo aplicamos a la fila 1:
(1 0 1 235
0 1 0 90
0 0 1 65)
- Restamos fila 1 menos fila 3 y lo aplicamos a la fila 1:
(1 0 0 170
0 1 0 90
0 0 1 65)
De aquí queda:
X=170
Y=90
Z=65