Question

Parte 1:
1.Resuelve el problema utilizando los conceptos matemáticos de optimización.
a. A partir de una hoja de máquina tamaño carta - A4 cuyas medidas son aproximadamente 21cm de ancho y 30cm de largo, se desea construir una caja rectangular sin tapa recortando un cuadrado de cada esquina de "x" cm.
Obtener las dimensiones de la caja: ancho, largo y alto, para que la caja encierre un volumen máximo.
2.Responde a las siguientes preguntas:
a. Cuánto va a medir el ancho de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina:___________
b. Cuánto va a medir el largo de la caja al recortarle los cuadrados en cada esquina:___________
c. Con los resultados anteriores, plantear la ecuación matemática para el volumen de la caja en función de "x"
V(x) = _____________________
d. Obtener los puntos críticos de la función volumen
e. Utilizar el criterio de la primera derivada para obtener el valor de "x" con el cual el volumen es máximo
f. Dar la respuesta al problema:
Dimensiones de la caja con volumen máximo:
Ancho: ___________
Largo: ____________
Alto: _____________

Parte 2:
Debes responder a las preguntas planteadas, pues son evidencia de comprensión del proceso de solución.
3.Utiliza las fórmulas básicas para resolver las siguientes integrales indefinidas.

1.
2.

3.
4.

5.
6.


4.En las siguientes integrales primero transforma la función del integrando para que quede como una función potencia y después integra.

7.

8.


5.Utiliza las propiedades y fórmulas básicas para resolver las siguientes integrales.
a.
b.
c.

6.Resuelve las siguientes integrales compuestas. a.
b.
c.


Resuelve con integración por partes, responde a las preguntas planteadas.
7.Resuelve la integral

Primero debes determinar la fórmula o método que vas utilizar, para ello observa el integrando y contesta a la siguiente pregunta:

¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por partes?, ¿Con cuál?

Si la integral se resuelve por medio de integración por partes, entonces utiliza las siglas LATE para seleccionar u y dv.

u = _____________ dv = _____________
deriva u Integra dv
du = ____________ v = _____________

Por último utiliza la fórmula para integrar por partes.

8.Resuelve la integral

Primero debes determinar la fórmula o método que vas utilizar, para ello observa el integrando y contesta a la siguiente pregunta:

¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por partes?, ¿con cuál?

Si la integral se resuelve por medio de integración por partes, entonces utiliza las siglas LATE para seleccionar u y dv.

u = _____________ dv = _____________
deriva u Integra dv
du = ____________ v = _____________

Por último utiliza la fórmula para integrar por partes.

9.Resuelve la integral

Primero debes determinar la fórmula o método que vas utilizar, para ello observa el integrando y contesta a la siguiente pregunta:

¿Cumple con alguno de los casos para aplicar la técnica de integración por partes?, ¿con cuál?

Si la integral se resuelve por medio de integración por partes, entonces utiliza las siglas LATE para seleccionar u y dv.

u = _____________ dv = _____________
deriva u Integra dv
du = ____________ v = _____________

Por último utiliza la fórmula para integrar por partes.

Answer 1

Demasiado extenso el problema.

Además puedo resolver solamente el primero. En los demás los datos no están visibles. 

Solución del primero.

Si se cortan cuadrados de lado x en los 4 vértices de la hoja nos queda

ancho = 21 - 2 x
largo = 30 - 2 x

Siendo un prisma V = x (21 - 2 x) (30 - 2 x)

Si quitamos los paréntesis: V(x) = 4 x³ - 102 x² + 630 x

Derivamos respecto de x: V' =12 x² - 204 x + 630

Si igualamos a cero, resultan x = 12,94; x = 4,06 cm

12,94 debe desechar por estar fuera de dominio: 21 - 2 x no debe ser negativo

Queda entonces un solo punto crítico: x = 4,06 cm

Hay otros dos puntos críticos que corresponden para el volumen nulo pero no participan en el problema:

x = 0, x = 10,5 (21/2)

Criterio de la primera derivada para un máximo:

La derivada en un punto inmediatamente a la izquierda del punto crítico debe ser positiva y a la derecha negativa.

V'(4,05) = 0,63

V'(4,07) = - 1,5

Por lo tanto en x = 4,06 hay un máximo.

El volumen máximo es V(4,06) = 1144.1 cm³

ancho: 21 - 2 . 4,06 = 12,88 cm
largo: 30 - 2 . 4,06 = 21,88
alto: 4,06 cm

Adjunto una gráfica con la función volumen y los puntos críticos

Saludos Herminio