Question

Si los vértices de la hipérbola 9x2 6y2 - 72x + 24y + 66 = 0 son los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia, determine la ecuación de la circunferencia.

Answer 1

La ecuación de la circunferencia es:

(x-4)² +(y-2)² =6

Datos:

Ecuación de la hipérbola:

9x²- 6y² - 72x + 24y + 66 = 0

Explicación:

Se debe hallar la ecuación estándar de la hipérbola:

a) Se completan cuadrados:

(9x² - 72x) -(6y² - 24y )= -66

9(x²-8x) -6(y²-4y)= -66

9(x²-8x+16) -6(y²-4y+4)= -66+144-24

9(x-4)² -6(y-2)²=54

b) Se divide todo entre 54:

(x-4)²/ 6  - (y-2)²/9 = 1

2. Se hallan los vértices de la hipérbola:

h= 4

k=2

a= √6

b=3

V (h±a,k)

V1= (4+√6 ,2)

V2=(4-√6 ,2)

3. Se halla el punto medio entre los vértices:

C [(4+√6 +4-√6)/2 , (2+2)/2]

C [8/2 ,4/2]

C( 4,2)

4. Se halla la distancia entre el punto medio y un vértice:

d= √(x₂-x₁)² +(y₂-y₁)²

d=√(4-4+√6)² +(2-2)²

d=√6

5. Se halla la ecuación de la circunferencia:

(x-h)² +(y-k)² =r²

en donde h.k son las coordenadas de C y r es la distancia entre C y V1

(x-4)² +(y-2)² =6