Question

Use Series Geométricas para resolver el siguiente problema:
Una pelota de tenis se deja caer desde una altura de 20 metros. En cada rebote sube hasta la mitad de la máxima altura anterior y así sucesivamente. Calcule la distancia total que recorre la pelota antes de quedar en reposo

Answer 1

Si una pelota de tenis se deja caer desde una altura de 20 metros y en cada rebote sube hasta la mitad de la máxima altura anterior y así sucesivamente, la distancia total que recorre es de 60m.

En la primera caída la pelota recorre los 20 metros de altura al descender

Recorrido1=20m

Luego, al subir recorre la mitad de la altura inicial, 10 m y al bajar, otros 10 m. Es decir, que recorre 20 metros más luego de su segundo rebote

D2=(1/2)*(20m)+(1/2)*(20m)=20m

Al rebotar y subir otra vez, recorre la mitad de lo anterior al subir, 5 m y otros 5 m al bajar, quiere decir que recorre en total 10 m

D3=(1/2)²*(20m)+(1/2)²*(20m)=10m

Que también se puede escribir como:

D3=(1/2)³*(20m)+(1/2)³*(20m)=5m

Encontramos el siguiente patrón:

D=distancia total recorrida:

D=20+40m(1/2)+40m(1/2)²+40m(1/2)³+....

Podemos sumar y restar 20 para tratar de llevar esto hasta una expresión de serie geométrica:

D= -20m+20m+20m+40m(1/2)+40m(1/2)²+40m(1/2)³+....

D= -20m+40m+40m(1/2)+40m(1/2)²+40m(1/2)³+....

Se omite el símbolo m de metros, por los momentos.

Pudiendose representar como sigue:

$D=-20+40(\frac{1}{2})^{0}+40(\frac{1}{2})^{1}+40(\frac{1}{2})^{2}+40(\frac{1}{2})^{3} +...+40(\frac{1}{2})^{n}+...=\\D=-20+sum_{(0-infinito)} (40(\frac{1}{2})^{k})$

Esta sumatorio tiene como solución general:

$D=-20+sum_{(k:0-infinito)} (40(\frac{1}{2})^{k})=-20+\frac{40}{1-\frac{1}{2}}$

D=-20+80=60

Quiere decir que la distancia total recorrida por la pelota fue de 60m