Encontrar las raíces de las siguientes funciones polinómicas. (3 PTS)
f(x)=x^3+4x^2+4x
g(x)=x^3-2x^2-5x+6
h(x)=〖 x〗^4 〖 + x〗^3+6x^2-4x-8
Respuestas
Las raíces correspondientes a cada función polinomica son:
f(x): x = 0; x = -2
g(x): x = 1; x = -2; x = 3
h(x): x ≈ -0,87432; x ≈ 1,21634
- f(x) = x³+4x²+4x
x³+4x²+4x = 0;
sacamos x como factor común que multiplica toda la expresión;
x(x²+4x+4) = 0;
x = 0
x²+4x+4 = 0;
empleando la resolvente: x =( -1 ±√( 16 -16)) / 2
x = -2
- g(x)=x^3-2x^2-5x+6
x³-2x²-5x+6=0;
utilizando el teorema de la raíz racional;
a_0 = 6, a_n = 1
Los divisores de a_0: 1,:2,:3,:6, Los divisores de a_n: 1
Por lo tanto, verificar los siguientes números racionales: + o – (1,2,3,6)/1
1/1 es la raíz de la expresión, por tanto, factorizar (x-1)
= (x-1) ( (x³-2x²-5x+6)/ x-1)
Se dividen los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador x³-2x²-5x+6 y el divisor x-1: x³/x = x²
Coeficiente = x²
Multiplicamos x-1 por x²: x³-x²
Se restan: -(x³-x²) + x³-2x²-5x+6
Residuo = -x²-5x+6
( (x³-2x²-5x+6)/ x-1) = x² + ((-x²-5x+6)/x-1 )
= x² + ((-x²-5x+6)/x-1 )
Se dividen los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador -x²-5x+6 y el divisor x-1: -x²/x = -x
Coeficiente = -x
Multiplicamos x-1 por -x: -x²+x
Se restan: -(-x²+x) + (-x²-5x+6)
Residuo = -6x+6
( (-x²-5x+6)/ x-1) = -x + ((-6x+6)/x-1 )
= x² - x + ((-6x+6)/x-1 )
Se dividen los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador -6x+6y el divisor x-1: -6x/x = -6
Coeficiente = -6
Multiplicamos x-1 por -6: -6x+6
Se restan: -(-6x+6) + (-6x-6)
Residuo = 0
(-6x+6)/x-1 = -6
= x^2 –x -6
Aplicamos la resolvente
x = -2 ; x = 3
Factoriza la expresión:
= (x-1)(x+2)(x-3)
x³-2x²-5x+6 = (x-1)(x+2)(x-3)
Las raíces del polinomio son:
x = 1 ; x = -2 ; x =3
- h(x) = x^4 +x^3 + 6x^2 -4x -8
x^4 +x^3 + 6x^2 -4x -8 = 0
El método de Newton-Raphson procedemos iterando para aproximarse a la raíz de una función: x_n+1 = x_n –f(x_n)/f’(x_n)
Hallar h’(x): x^4 +x^3 + 6x^2 -4x -8
d/dx (x^4 +x^3 + 6x^2 -4x -8)
d/dx = 4 x^3+ 3x^2+12x-4
Sea x_0 = -2
Calcular x_n+1 hasta que Δx_n+1 < 0.000001
x_1 = ?
h(x_0) = (-2)^4+ (-2)^3+6(-2) ^2-4(-2)-8 = 32
h’(x_0) = 4 (-2)^3+ 3(-2)^2+12(-2)-4 = -48
x_1 = -2 – 32/-48 = -1,3333
x_1 = -1,3333…. ; Δx_1 = x_1 – x_0 = 0,6666…..
x_2 = ?
h(x_1) = (-1,3333)^4+ (-1,333)^3+6(-1,333) ^2-4(-1,333)-8 = 8,79012
h’(x_1) = 4 (-1,333)^3+ 3(-1,333)^2+12(-1,333)-4 = -24,14814
x_2 =-1,333 – (8,79012)/(-24,14814) = -0,96932
x_2 = -0,96932 Δx_1 = x_2 – x_1 = 0,36400…..
x_3 = ?
h(x_2) = (-0,96932)^4+ (-0,96932)^3+6(-0,96932) ^2-4(-0,96932)-8 = 1,48691
h’(x_2) = 4 (-0,96932)^3+ 3(-0,96932)^2+12(-0,96932)-4 = -16,45620
x_3 = -0,96932– (1,48691)/( -16,45620) = -0,87896
x_3 = -0,87896 Δx_1 = x_3 – x_2 = 0,09035…..
x_4 = ?
h(x_3) = (-0,87896)^4+ (-0,87896)^3+6(-0,87896) ^2-4(-0,87896)-8 = 0,06921
h’(x_3) = 4 (-0,87896)^3+ 3(-0,87896)^2+12(-0,87896)-4 = -14,94619
x_4= -0,87896– (0,06921)/( 0,06921) = -0,87433
x_4 = -0,87433 Δx_1 = x_4 – x_3 = 0,00463....
x_5 = ?
h(x_2) = (-0,87433)^4+ (-0,87433)^3+6(-0,87433) ^2-4(-0,87433)-8 = 0.00017
h’(x_2) = 4 (-0,87433)^3+ 3(-0,87433)^2+12(-0,87433)-4 = -14,87227
x_3 = -0,87433 – (0.00017)/( -14,87227) = -0,87432
x_3 = -0,87432 Δx_1 = x_5 – x_4 = 0,00001…..
x ≈ -0,87432…..
Aplicamos división larga:
(x^4 +x^3 + 6x^2 -4x -8)/x+0,87432 = x^3 + 0,12567x^2 +5,89012x -9,14989
x^3 + 0,12567x^2 +5,89012x -9,14989 ≈ 0
Encontramos la solución para x^3 + 0,12567x^2 +5,89012x -9,14989 = 0
Utilizando el método de Newton-Raphson: x ≈ 1.21634
Aplicamos división larga:
(x^3 + 0,12567x^2 +5,89012x -9,14989)/x-1,21634 = x^2 +1,34201x +7,52246
x^2 +1,34201x +7,52246 ≈ 0
Encontramos la solución para x^2 +1,34201x +7,52246 = 0
Utilizando el método de Newton-Raphson: Sin solución par x ∈ R
Las raíces de h(x) son: x ≈ -0,87432 x ≈ 1,21634