Problema
Una partícula se mueve a lo largo de una recta que tiene velocidad v(t)=t^2 e^(-t) metros por segundo, después de t segundos. ¿Cuán lejos llegará durante los primeros t segundos?
Instrucciones adicionales
1.- El problema deberá ser resuelto por 2 métodos de integración:
Método de integración por partes: ∫▒〖udv=uv-∫▒v du〗.
Método tabular de integración: dicho método debes investigarlo y aplicarlo al problema.
(Se debe colocar una breve explicación de cómo aplicar el método y a que funciones en particular solo puede aplicarse).
Respuestas
La partícula se mueve a lo largo de una recta que tiene velocidad v(t)=t^2 e^(-t) m/s, después de t segundos, dicha partícula llegara a:
Función desplazamiento (x) = (x² + 2x + 2 )e⁻ˣ + k
Explicación paso a paso:
Sabemos que el área bajo la curva de la velocidad nos da como resultado el desplazamiento, por eso al integrar en función del tiempo obtendremos el valor:
Colocamos x en vez de t (por facilidad de comprensión)
∫x²e⁻ˣdx
Método de integración por partes
u = x² ; du = 2xdx
dv = e⁻ˣ dx ; v = -e⁻ˣ + k
x²e⁻ˣ - ∫-e⁻ˣ 2x dx
u = 2x ; du = 2dx
dv = -e⁻ˣdx ; v = e⁻ˣ + k
x²e⁻ˣ + 2x e⁻ˣ - 2∫e⁻ˣdx
x²e⁻ˣ + 2x e⁻ˣ + 2e⁻ˣ + k
(x² + 2x + 2 )e⁻ˣ + k
Método tabular de integración:
Este método consiste en derivar las funciones polinomios hasta llegar a cero, y a su vez integrar las funciones trascendentes tantas veces como se derivo la otra función
u = x²
v = e⁻ˣ
e⁻ˣ
x² (+) -e⁻ˣ
2x (-) e⁻ˣ
2 (+) -e⁻ˣ
0
x²*-e⁻ˣ - 2x*e⁻ˣ + 2-e⁻ˣ + k
(-x² -2x -2)e⁻ˣ + k (-1)
(x² + 2x + 2)e⁻ˣ + k