Question

AYUDA CON FUNCIÓN EXPONENCIAL
Para la función
$f(x) = 1 + e^{x + 2}$
Indicar dominio, recorrido(o rango), y si es biyectiva. Determinar inversa, la imagen de 3 y la preimagen de 5.​

Answer 1

Hola!

Vamos paso por paso:

Dominio: Re

El dominio van a ser todos los reales porque no hay ningún valor restringido en la ecuación.

Rango: (1 , +∞)

Ese va a ser el rango porque la expresión nunca va a bajar de 0.

El termino $e^{x+2}$  Nunca va a ser negativo, puede ser un decimal muy pequeñito, pero nunca 0 o negativo, así que el mínimo valor que la función va a tocar es 1. Ademas, puede extenderse hasta el infinito mientras x sea mas grande.

Si es biyectiva

Pues no hay ningún valor de la función que se repita. Cada elemento del conjunto de salida le corresponde, uno y solo uno, elemento del conjunto de llegada

Inversa

$y=1+e^{x+2}$

$y-1=e^{x+2}$

$ln(y-1)=ln(e^{x+2} )$

Por propiedad de los logaritmos:

$ln(y-1)=(x+2)ln(e)$

Y el logaritmo natural de e es 1

$ln(y-1)=x+2$

$ln(y-1)-2=x$

Y cambiamos la x por la y

$y=ln(x-1)-2$

Imagen de 3

$y=1+e^{3+2}$

$y=1+148.41$

y=149.41

Preimagen de 5

$5=1+e^{x+2}$

$5-1=e^{x+2}$

$ln(4)=(x+2)ln(e)$

$ln(4)-2=x$

Y listo, espero te sirva.

Saludos!