Question

Andrea compro para sus tres hijos los siguientes materiales, para su hijo mayor compro el paquete 1 que contiene 3 paquetes de papel crepe, 2 marcadores fijos y 4 cuadernos, por $20 600; para su segundo hijo compro el paquete 2 que contiene 5 paquetes de papel crepe, 3 marcadores fijos y 2 cuadernos, por $21 000; y para su hija menor compro el paquete 3 un que contiene 6 paquetes de papel crepe, 5 marcadores fijos y 6 cuadernos por $41 200, con la información dada, construye la matriz que describe esta situación y por medio del método de Cramer, determine el costo de cada uno de los artículos, recuerda hacer el análisis correspondiente.

Answer 1

Cada paquete de papel crepe vale 200$, cada marcador 5.000$ y cada cuaderno 2500 $

Para simplificar el desarrollo del ejercicio, vamos a denotar como P al precio del papel crepe, como M al precio del marcador fijo y como C al precio del cuaderno

Del coste del primer paquete

3P + 2M + 4C = 20.600

Del coste del segundo paquete vemos

5P + 3M + 2C = 21.000

Y del coste del tercer  paquete vemos

6P + 5M + 6C = 41.200

Por lo que juntando todo tenemos

3P + 2M + 4C = 20.600

5P + 3M + 2C = 21.000

6P + 5M + 6C = 41.200

Este es el sistema de ecuaciones a resolver

Si utilizamos el método de Cramer, primero debemos calcular el determinante del sistema, que es

$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}3&2&4\\5&3&2\\6&5&6\end{array}\right| = 3(3*6-2*5) - 2(5*6 - 6*2) + 4(5*5-6*3) = 24-36+49 = 16$

Ahora, necesitamos obtener el determinante de P, esto se hace sustituyendo la columna de los resultados con la columna donde aparecen todos los valores de P, es decir:

$\Delta_P =\left|\begin{array}{ccc}20600&2&4\\21000&3&2\\41200&5&6\end{array}\right| = 20.600(18-10) - 21.000(12-20) + 41.200(4-12) = 20.600*8 + 21.000*8-41.200*8 = 8*400 = 3200$

Luego seguimos con el determinante de M que se define de manera similar al determinante de P, con la diferencia que ahora se cambia la columna donde aparecen los valores de M

$\Delta_M = \left|\begin{array}{ccc}3&20.600&4\\5&21.000&2\\6&41.200&6\end{array}\right| = -20.600(30-12) + 21.000(18-24) - 41.200(6-20) =-370.800 - 126.000 + 576.800 = 80.000$

Por último falta calcular el determinante de C, que ya habiendo comprendido las anteriores, este determinante es

$\Delta_C = \left|\begin{array}{ccc}3&2&20.600\\5&3&21.000\\6&5&41.200\end{array}\right| = 20.600(25-18) - 21.000(15-12) + 41.200(9-10) =144.200 - 63.000 - 41.200 = 40.000$

Una vez calculado los determinantes, para hallar los precios de cada producto, se divide el determinante del sistema del determinante de la variable, es decir:

$P = \frac{\Delta_P}{\Delta} = \frac{3200}{16} = 200\\\\M = \frac{\Delta_M}{\Delta}  = \frac{80.000}{16}  = 5.000\\\\C = \frac{\Delta_C}{\Delta} = \frac{40.000}{16} = 2.500$

Es decir, cada paquete de papel crepe vale 200$, cada marcador 5.000$ y cada cuaderno 2500 $