Question

quien me puede ayudar con este problema de optimizacion

Cual es la distancia Minima
que existe entre el Punte [5,1]
y la Parabola y=-x2​

Answer 1

La distancia mínima entre el punto (5, 1) y la parábola  y  =  -x² es  d  =  2√5  unidades de longitud.

Explicación paso a paso:

La función objetivo es la distancia entre el punto (5, 1) y el punto de coordenadas (x, y) perteneciente a la parábola  y  =  -x²  más cercano a el. La función objetivo viene dada por la fórmula de distancia entre puntos:

$d=\sqrt{(x-5)^{2}+(y-1)^{2}}$

Por conveniencia, vamos a minimizar la suma de cuadrados prescindiendo de la raíz

$D=(x-5)^{2}+(y-1)^{2}$

Lo conveniente es que D este expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la ecuación de la parábola (ecuación auxiliar) para sustituir  y:

$D=(x-5)^{2}+(-x^2-1)^{2} \qquad \Rightarrow \qquad$

$\mathbf {D=x^{4}+3x^2-10x+26}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de D.  

$D'=4x^{3}+6x-10$

$D'=0 \qquad \Rightarrow \qquad 4x^{3}+6x-10=0 \qquad \Rightarrow \qquad x=1$

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$D''=12x^{2}+6$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$D''_{(1)}=12(1)^{2}+6=18>0 \qquad \Rightarrow \qquad$  

$\mathbf {x=1 \qquad \wedge \qquad y=-1}$         es un mínimo de la función D.  

Ahora vamos a calcular la distancia mínima:

$d=\sqrt{(x-5)^{2}+(y-1)^{2}} \qquad \Rightarrow \qquad d=\sqrt{(1-5)^{2}+(-1-1)^{2}} \qquad \Rightarrow \qquad$

$\mathbf {d=\sqrt{20}=2\sqrt{5}}$