Una bola de billar de 0.30 kg con una rapidez de 2.0 m/s en la dirección x positiva choca elásticamente de frente con una bola de billar estacionaria de 0.70 kg. ¿Cuáles son las velocidades de las bolas después del choque?
Respuestas
En el choque elástico unidimensional, presenta la velocidad 1 -8m/s y velocidad 2 de 12m/s
El procedimiento es el siguiente:
1.) Hay conservación del momento lineal
2.) Hay conservación de la energía cinética.
Supongamos una colisión frontal perfectamente elástica entre dos cuerpos m1 y m2 que viajan en una misma linea recta u1 y u2.
Como se conserva el momento lineal entonces: (¬ este simbolo lo usare para denotar la flechita del vector -.-| )
∑p¬ =constante
m1u¬1 +m2u¬2=m1v¬1+m2v¬2 (ecuación 1)
Se reescribe de la siguiente forma
m1(u1-v1)=m2(v2-u2) (ecuación 2)
donde u1 y u2 son las velocidades antes de choque y v1 y v2 después del choque.
Como se se conserva la energía cinética (K):
∑Ki=contante
Entonces:
\frac{1}{2}m_{1}u_{1} ^{2} + \frac{1}{2}m_{2}u_{2} ^{2 } = \frac{1}{2}m_{1}v_{1} ^{2 } + \frac{1}{2}m_{2}v_{2} ^{2 }
la anterior la llamaremos ecuación 3
Se reescribe de la siguiente forma:
m1(u_{1} ^{2 }-v_{1} ^{2 }) = m2(v_{2} ^{2 }-u_{2} ^{2 }) (ecuación 4)
Si se divide la ecuación 4 entre la ecuación 2
(v2-v1)=-(u2-u1) (ecuación 5)
Ya tenemos una relación importante la es al combinar las ecuaciones 2 y 5
v1=\frac{m1-m2}{m1+m2}*u1 + \frac{2m2}{m1+m2}*u2
(ecuación 6)
v2=frac{2m1}{m1+m2}*u1 + \frac{m2-m1}{m1+m2}*u2 (ecuación 7)
Para responder a la pregunta haremos
la masa de la bola 1=m1=0.30 kg
la masa de la bola 2=m2=0.70 kg
la velocidad inicia de la bola 1=u1= 20 m/s
la velocidad inicia de la bola 2=u2= 0 m/s (reposo o estacionado)
Se buscan las velocidades finales para la bola 1 (v1) y la bola 2 (v2), de esta forma:
Se utiliza la ecuación 6 para halla v1, sabemos que u2=0, entonces
v1=\frac{0.30kg-0.70kg}{0.30kg+0.70kg}*20m/s= -8m/s
Recuerda que las velocidades son vectores el signo negativo significa que al momento del choque transfiere energía y se devuelve por donde vino con menor velocidad.
Para hallar v2 usamos la ecuación 5
v2=-u2+ui+v1=-0m/s+20m/s-8m/s=12m/s
y listo hacia se resuelve tu ejercicio.
La bola de billar de 0.30 kg tendrá una velocidad de 1.0 m/s en la dirección x positiva, y la bola de billar de 0.70 kg tendrá una velocidad de 1.0 m/s en la dirección x negativa.
Explicación del cálculo paso a paso
Tenemos las siguientes variables:
- m1 = 0.30 kg
- m2 = 0.70 kg
- v1 = 2.0 m/s
- v2 = 0 m/s
Como se trata de un choque elástico, la energía cinética se conserva.
Energía cinética antes del choque
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2 = 1/2(0.3)(2.0)^2 + 1/2(0.7)(0)^2 = 1.6 J
Energía cinética después del choque
1/2m1v1'^2 + 1/2m2v2'^2 = 1/2(0.3)(v1')^2 + 1/2(0.7)(v2')^2 = 1.6 J
Como la energía cinética se conserva, y sabemos la energía cinética antes y después del choque, podemos reescribir la ecuación de conservación de energía de la siguiente manera:
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2 = 1/2m1v1'^2 + 1/2m2v2'^2
Podemos despejar v1' y v2' de la ecuación:
v1' = sqrt(v1^2 - 2(v2' - v1)(m1/m2))
v2' = sqrt(v2^2 + 2(v1 - v2')(m2/m1))
Como v1 = 2.0 m/s y v2 = 0 m/s, podemos reescribir la ecuación de v1' de la siguiente manera:
v1' = sqrt(v1^2 - 2(v2' - v1)(m1/m2))
v1' = sqrt(2.0^2 - 2(v2' - 2.0)(0.3/0.7))
v1' = sqrt(4.0 - 2(v2' - 2.0)(0.43))
Como la energía cinética se conserva, y sabemos la energía cinética antes y después del choque, podemos reescribir la ecuación de conservación de energía de la siguiente manera:
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2 = 1/2m1v1'^2 + 1/2m2v2'^2
Como v1 = 2.0 m/s, podemos reescribir la ecuación de manera que solo tenga términos en v2':
1.6 = 1/2(0.3)(v1')^2 + 1/2(0.7)(v2')^2
1.6 = 0.045(v1')^2 + 0.245(v2')^2
Como sabemos la velocidad de v1', podemos reescribir la ecuación de manera que solo tenga términos en v2':
1.6 = 0.045(v1')^2 + 0.245(v2')^2
1.6 = 0.045(sqrt(4.0 - 2(v2' - 2.0)(0.43)))^2 + 0.245(v2')^2
Despejamos v2' de la ecuación:
v2' = (1.6 - 0.045(sqrt(4.0 - 2(v2' - 2.0)(0.43)))^2) / 0.245
Resolvemos la ecuación de segundo grado para encontrar la velocidad de v2' después del choque:
v2' = 1.0 m/s
Como sabemos la velocidad de v2', podemos reescribir la ecuación de v1' de la siguiente manera:
v1' = sqrt(v1^2 - 2(v2' - v1)(m1/m2))
v1' = sqrt(2.0^2 - 2(1.0 - 2.0)(0.3/0.7))
v1' = sqrt(4.0 - 2(1.0 - 2.0)(0.43))
v1' = 1.0 m/s
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