Question

Se supone que las calificaciones de un examen están normalmente distribuidas con media de 78 y varianza de 36.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que haga el examen
alcance calificaciones mayores de 72?

(b) Suponga que los estudiantes que alcancen el 10 % mas alto de esta
distribución reciben una calificación de A. ¿Cu´al es la calificación
mínima que un estudiante debe recibir para ganar una calificación
de A?

(c) ¿Cuál debe ser el punto límite para pasar el examen si el examinador
desea pasar solo a 28.1 % mas alto de todas las calificaciones?

(d) ¿Aproximadamente que proporción de estudiantes tienen
calificaciones de 5 o más puntos arriba de la calificación que corta al
25 % más bajo?

(e) Si se sabe que la calificación de un estudiante excede de 72, ¿cuál es
la probabilidad de que su calificación exceda de 84?

Answer 1

(a) La probabilidad de que una persona que haga el examen  alcance calificaciones mayores de 72 es 0,8413, (b) la calificación  mínima que un estudiante debe recibir para ganar una calificación  de A es 85,68,  (c) el punto límite para pasar el examen si el examinador  desea pasar solo a 28.1 % mas alto de todas las calificaciones es 81,48, (d) 0,4364 es la proporción de estudiantes tienen  calificaciones de 5 o más puntos arriba de la calificación que corta al  25 % más bajo, (e) Si se sabe que la calificación de un estudiante excede de 72,  0,1886 es  la probabilidad de que su calificación exceda de 84.

Explicación:

Las calificaciones de un examen tienen distribución normal con:

media  =  μ  = 78       y varianza  =  σ²  =  36.

Para hallar probabilidades asociadas a esta distribución se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).

Si definimos la variable aleatoria con distribución normal:

x  =  calificación obtenida en el examen

Su estandarización para calcular sus probabilidades en la tabla estándar es:

$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:

$P(x<a)=P(z<\frac{a-\mu}{\sigma})$

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que haga el examen  alcance calificaciones mayores de 72?

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea mayor que 72. Dado que la tabla arroja probabilidades acumuladas, es necesario trabajar con el evento complemento para obtener la cola derecha de la distribución:

$P(x>72)=1-P(x<72)=1-P(z<\frac{72-78}{6})=1-P(z<-1)=1-0,1587$

P(x  >  72)  =  0,8413

(b) Suponga que los estudiantes que alcancen el 10 % mas alto de esta  distribución reciben una calificación de A. ¿Cuál es la calificación  mínima que un estudiante debe recibir para ganar una calificación  de A?

 Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea mayor que un nivel  "a"  tal que la probabilidad de pertenecer a este grupo sea 0,10. Vamos a hallar  "a"  haciendo el recorrido inverso desde la tabla:

Si  P(x  >  a)  =  0,10    ⇒    P(x  <  a)  =  1  -  0,10  =  0,90

$P(x<a)=P(z<\frac{a-78}{6})=0,90$

El valor en la tabla asociado a una probabilidad de 0,90 es:

 z = 1,28

De la fórmula de estandarización despejamos x:

x  =  zσ  +  μ  =  (1,28)(6)  +  (78)  =  85,68

85,68 puntos es la calificación mínima para ganar una  A.

(c) ¿Cuál debe ser el punto límite para pasar el examen si el examinador  desea pasar solo a 28.1 % mas alto de todas las calificaciones?

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea mayor que un nivel  "a"  tal que la probabilidad de pertenecer a este grupo sea 0,281. Vamos a hallar  "a"  haciendo el recorrido inverso desde la tabla:

Si  P(x  >  a)  =  0,281    ⇒    P(x  <  a)  =  1  -  0,281  =  0,719

$P(x<a)=P(z<\frac{a-78}{6})=0,719$

El valor en la tabla asociado a una probabilidad de 0,719 es:

   z  =  0,58

De la fórmula de estandarización despejamos x:

x  =  zσ  +  μ  =  (0,58)(6)  +  (78)  =  81,48

81,48 puntos es la calificación mínima para pasar el examen, estando en el 28,1% superior.

(d) ¿Aproximadamente que proporción de estudiantes tienen calificaciones de 5 o más puntos arriba de la calificación que corta al  25 % más bajo?

Primero vamos a hallar la probabilidad de que  x  sea menor que un nivel  "a"  tal que la probabilidad de pertenecer a este grupo sea 0,25, haciendo el recorrido inverso desde la tabla:

Si  P(x  <  a)  =  0,25    ⇒    

$P(x<a)=P(z<\frac{a-78}{6})=0,25$

El valor en la tabla asociado a una probabilidad de 0,25 es:

   z  =  -0,675

De la fórmula de estandarización despejamos x:

x  =  zσ  +  μ  =  (-0,675)(6)  +  (78)  =  73,95  

Segundo hallaremos la probabilidad de que  x  sea mayor que 78,95 (5 o más puntos por encima de 78,95). Dado que la tabla arroja probabilidades acumuladas, es necesario trabajar con el evento complemento para obtener la cola derecha de la distribución:

$P(x>78,95)=1-P(x<78,95)=1-P(z<\frac{78,95-78}{6})=1-P(z<0,16)=1-0,5636$

P(x  >  78,95)  =  0,4364

(e) Si se sabe que la calificación de un estudiante excede de 72, ¿cuál es  la probabilidad de que su calificación exceda de 84?

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea mayor que 84 dado que se sabe que es mayor que 72. Esta es una probabilidad condicional:

Probabilidad condicional: si la ocurrencia de un evento A depende de la previa ocurrencia de un evento B; la probabilidad de A dado B viene dada por:

$P(A{|}B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Por lo tanto:

$P(x>84{|}x>72)=\frac{P(x>84)}{P(x>72)}=\frac{1-P(x<84)}{1-P(x<72)}$    ⇒

$P(x>84{|}x>72)=\frac{1-P(z<1)}{1-P(z<-1)}=\frac{1-0,8413}{1-0,1587}=\frac{0,1587}{0,8413}=0,1886$

P(x > 84 | x > 72)  =  0,1886

Answer 2

La probabilidad de que se obtenga una calificación superior a 72 es igual a 0.8413

Normalizamos las variables

Tenemos que la media es de 78 y la varianza es de 36, por lo tanto la desviación estándar es de √36 = 6, luego calculamos la probabilidades solicitadas:

Si Z = (X - 78)/6 (Variable con media 0 y varianza 1)

P(X > 72) = P(Z > (72 - 78)/6) = P(Z > -6/6) = P(Z > -1) = P(Z < 1)

Usamos la tabla de distribución normal para determinar la probabilidad que queremos:

P(Z < 1) = 0.8413

b) Queremos el 10% más alto tendrán una calificación de A, queremos determinar la calificación mínima

Z > 3.5

(X - 78)/6 > 3.5

X - 78 > 3.5*6

X - 78 > 21

X  > 21 + 78

X > 99

Visita sobre probabilidad en: https://brainly.lat/tarea/14555861