Question

Determinar si la función f(x)=5x^2+1 es inyectiva. Determinar si la función f(x)=x+2 es inyectiva. Determinar si la función f(x)=√x es inyectiva. Determinar si la función f(x)=x^2+1 es sobreyectiva. Determinar si la función f(x)=∛x es sobreyectiva. Determinar si la función f(x)=x/(x+2) es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Answer 1

A continuación se va realizar el análisis de cada uno de las funciones

Para poder determinar cuando una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, debemos saber que implica que sea cada una de estas

• Función inyectiva:  Una función se dice que es inyectiva si se cumple la siguiente relación $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. Es decir, la única manera de que los valores de una función sean iguales es que los valores de x sean iguales
• Función sobreyectiva: Una función se dice que es que es sobreyectiva si para cada valor y perteneciente al conjunto de llegada de la función es la imagen de al menos un valor x del conjunto de llegada de f. Otra forma de ver si una función es sobreyectiva es ver si el rango de la función es igual a conjunto de llegada
• Función biyectiva: Para que una función  se considere biyectiva, esta debe ser tanto inyectiva como sobreyectiva.

Nota: Por factores de simplificación,  vamos a asumir que todas las funciones van de los números reales a los números reales, es decir la función f es f: R → R

Comenzamos

• f(x) = 5x² + 1. Notamos que f no puede ser inyectiva, una prueba de esto es lo siguiente $f(x_1) = f(x_2)\implies 5x_1^2 + 1 = 5x_2^2 + 1 \implies x_1^2 = x_2^2 \implies x_1 = \pm x_2$, es decir, para que la igualdad se cumpla x_1 puede ser -x_2, pero, eso implicaría que no es inyectiva.
• f(x)= x + 2. Aquí podemos notar que f es una función inyectiva, dado que si x1 + 2 = x2 + 2 entonces x1 = x2.
• f(x)= √x. Esta función también es inyectiva, la forma de demostrarlo es simplemente elevando al cuadrado cada lado de la igualdad √x1 = √x2.
• f(x)= x²+1. Esta función no es sobreyectiva, para poder determinar esto, vemos que el rango de la función es [1, ∞), pero el conjunto de llegada es (-∞, ∞); por lo que la función no puede ser sobreyectiva.
• f(x)= ∛x. La función f si es sobreyectiva. podemos notar que su rango es (-∞, ∞) que es igual a su conjunto de llegada.
• f(x)= x /(x-2). La función f es inyectiva, pero, no es sobreyectiva, por lo tanto, no es biyectiva. Para ver esto, notamos que para que f sea inyectiva se debe cumplir $\frac{x_1}{x_1-2} = \frac{x_2}{x_2-2} \implies x_1(x_2 - 2) = x_2(x_1-2) \implies x_1 x_2 -2 x_1 = x_1x_2 -2x_2\\\\\implies -2x_1 =-2x_2 \implies x_1 = x_2$. Por otra parte, vemos que el rango de f es R - {1}, que no es su conjunto de llegada.