Question

Los ingresos mensuales de un empresario de maquinas electromecanicas están dados por la función:
F(x) =100x-2x^2, donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes
¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso ?

¿Si decimos que la ganancia fue de $1000 aproximadamente ¿cuántas máquinas se fabricaron?

¿cuáles son los ingresos y se fabrican 5 máquinas ?

¿a partir de qué cantidad de máquinas se comienza a tener pérdidas?

Answer 1

A continuación desarrollo cada una de las preguntas analizando la función de ingreso (ganancias - gastos)

Nos dan como datos la función que describe los ingresos de un empresario la cual es

$F(x) =100x-2x^2$

De la función podemos decir que el componente positivo (100X) son las ganancias y el componente negativo (-2X^2) los gastos

• Parte a) ¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso ?

Para que el ingreso sea máximo debemos garantizar que los gastos sean mínimos. Como los gastos crecen exponencialmente debemos evaluar la grafica de la función (ver anexo).

Por lo tanto, la ganancia máxima se consigue fabricando 25 maquina mensual.

• Parte b) Si decimos que la ganancia fue de $1000 aproximadamente ¿cuántas máquinas se fabricaron?

Las ganancias viene dado por 100X, si estas fueron de 1000

$1000=100X\\X=\frac{1000}{100}\\ X=10$

Para una ganancia de 1000$ se fabricaron 10 maquinas

• Parte c) ¿cuáles son los ingresos y se fabrican 5 máquinas ?

Vamos a evaluar cuanto son los ingresos, sustituyendo 5 en X en la función F(X), de tal forma que

$F(x) =100*5-2(5)^2=500-2*25=500-50=450$

Los ingresos son de 450$

• Parte d) ¿a partir de qué cantidad de máquinas se comienza a tener pérdidas?

Para que haya perdida las ganancias deben ser menores a los gastos, por lo tanto

$100X\leq 2X^2\\100\leq\frac{2X^2}{X} \\100\leq  2X\\\frac{100}{2}\leq  X\\X\geq 50$

Se tiene perdida cuando se fabrican mas de 50 maquinas al mes

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Answer 2

Respuesta:

1.  ¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso ?  f(x) =  1250

2.  ¿Si decimos que la ganancia fue de $1000 aproximadamente ¿cuántas máquinas se fabricaron? se fabricaran (x₂) = 13.82 ≈ 14 máquinas para obtener una ganancia de 1000 y no se toma en cuenta x₁  debido a que sería mayor el costo de producción.

3.  ¿cuáles son los ingresos y se fabrican 5 máquinas ? f(x) =  450

4.  ¿a partir de qué cantidad de máquinas se comienza a tener pérdidas?

      ( x = 25) - (x = 26)

           1250  -  1248 = 2

al producir una unidad más se produce una pérdida de 2 máquinas.

Explicación paso a paso:

Los ingresos mensuales de un empresario de maquinas electromecánicas están dados por la función:

f(x) =100x - 2x², donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes

¿Cuántas máquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso ?

F(x) = 100x - 2x²

x = 25

f(x) = 100(25) - 2(25)²

f(x) = 2500 - 2 (625)

f(x) = 2500 - 1250

f(x) =  1250

se deben producir  25 máquinas para un máximo de ganancia.

¿Si decimos que la ganancia fue de $1000 aproximadamente ¿cuántas máquinas se fabricaron?

f(x) = 1000

f(x) = 100x - 2x²

1000 = 100x - 2x² (se divide entre -2)

- 500 = 50x - x²

x² - 50x + 500 = 0  donde:  ax² - bx + c = 0   a ≠ 0 (aplicar ecuación de 2do. grado)

a = 1   b = -50    c = 500

x = -b ± √b² - 4ac        sustituir

       2a

x =  50 ± √(50)² - 4(1)(500)      

                    2(1)

x =  50 ± √2500 - 2000

                     2

x =  50 ± √500                (√500) = 22.36

             2

x₁ = 50 + 22.36 = 36.18             x₂  = 50 - 22.36 = 13.82

             2                                                  2

se fabricaran (x₂) = 13.82 ≈ 14 máquinas para obtener una ganancia de 1000 y no se toma en cuenta x₁  debido a que sería mayor el costo de producción.

¿cuáles son los ingresos y se fabrican 5 máquinas ?

F(x) = 100x - 2x²

x = 5

f(x) = 100(5) - 2(5)²

f(x) = 500 - 2 (25)

f(x) = 500 - 50

f(x) =  450

son los ingresos son de 450

¿a partir de qué cantidad de máquinas se comienza a tener pérdidas?

f(x) = 100x - 2x²                                  f(x) = 100x - 2x²                    

x = 25                                                  x = 26

f(x) = 100(25) - 2(25)²                         f(x) = 100(26) - 2(26)²

f(x) = 2500 - 2 (625)                           f(x) = 2600 - 2 (676)

f(x) = 2500 - 1250                               f(x) = 2600 - 1352

f(x) =  1250                                          f(x) =  1248

entonces:

 ( x = 25) - (x = 26)

     1250    - 1248 = 2

al producir una unidad más se produce una pérdida de 2 máquinas.

Nota: se utilizó gráfica del ejercicio.