Question

Determinar las asíntotas horizontales y la gráfica de la función f(x)=(x+1)/(x-2)


Determinar las asíntotas y graficar la función f(x)=(12x-3)/(9x^2-4).

Answer 1

A continuación se explica el proceso para hallar las asíntotas de cada función

Para poder calcular las asíntotas de una función, debemos conocer primero los distintos tipos de asíntotas:

• Asíntota vertical: Es aquella recta x = r en los puntos donde el denominador se hace 0, es decir, son todas las rectas x = r donde r es una raíz real del denominador
• Asíntota horizontal: Es aquella asíntota en la que converge la función cuando x tiende a infinito, es decir, si x tiende a infinito la función converge a un punto q, entonces la recta y = q es una asíntota horizontal.

Teniendo esto en cuenta, vamos a calcular las asíntotas de cada función

Primera función

• Asíntota vertical: Podemos ver que el denominador se hace 0 en el punto x = 2, por lo que la recta x = 2 es la única asíntota vertical
• Asíntota horizontal: Además, si tomamos valores de x muy grandes, podemos ver que la función (x+1)/(x-2) se va acercando a 1, y efectivamente el límite cuando x tiene a infinito de la función es 1, por lo que la recta y = 1 es la única asíntota horizontal.

Segunda función

• Asíntota vertical: Podemos observar que el denominador se hace 0 en 9x² - 4 = 0 ⇒ 9x² = 4 ⇒ x = ±√(4/9) = ±2/3, es decir, se hace cero en los puntos x = - 2/3 y x = 2/3; entonces estas son las asíntotas verticales
• Asíntota horizontal: Podemos observar que 9x²-4 crece mucho más rápido que 12x -3, por lo tanto cuando x sea muy grande (12x-3)/(9x²-4) es muy cercano a 0, por lo que su asíntota horizontal es y = 0