Question

Maximizar Z = 10X1 + 20X2, sujeta a -X1 + 2X2 ≤ 15 X1 + X2 ≤ 12 5X1 + 3X2 ≤ 45 y X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.

Answer 1

El máximo se alcanza con x1 = 3 y x2 = 9

Tenemos que:

Maximizar 10X1 + 20X2

S.A.

- x1 + 2x2 ≤ 15

x1   + x2 ≤ 12

5x1 + 3x2 ≤ 45

x1, x2 ≥ 0

Escribimos las restricciones en función de una variable:

• x2 ≤ 7.5 + 0.5*x1

• x2 ≤ 12 - x1

• x2 ≤ 15 - 5/3*x1

Graficamos las restricciones y dibujamos la región factible en azul claro

En círculos dibujos los puntos fronteras que son:

• (0,0)

• El punto donde:  x1 es 0 en la ecuación: 7.5 + 0.5*x1 que es 7.5, entonces el punto (0,7.5)

• El punto donde x2 es o en la ecuación: x2 = 15 -5/3*x1, entonces: 15 -5/3*x1 = 0 ⇒ 15 = 5/3x1 ⇒x2 = 3/5*15 = 9, el punto es (9,0)

• El punto de intersección de: x2 = 15 -5/3*x1 y x2 = 12 - x1

15 - 5/3*x1 = 12 - x1

15 - 12 = - x1 + 5/3*x1

3 = 2/3*x1

x1 = 3/2*3 = 9/2 = 4.5

y x2 = 12 - 4.5 = 7.5, el punto es (4.5, 7.5)

• Por último el punto de intersección entre:

x2 = 0.5x1 + 7.5 y x2 = 12 - x1

0.5x1 + 7.5 = 12 - x1

1.5x1 = 12 - 7.5

1.5x1 = 4.5

x1 = 4.5/1.5 = 3

y x2 = 12 - 3 = 9

El punto es (3,9)

Por programación lineal sabemos que el mínimo o máximo esta en las fronteras. Los puntos de corte (fronteras) son:

P1 = (0,0); P2= (0,7.5); P3=  (9,0); P4 = (4.5, 7.5) y P5= (3,9)

Evaluamos cada uno en la función objetivo para ver cual es el maximo

P1: Z = 0

P2: Z = 150

P3: Z = 90

P4 = 195

P5 = 210

El máximo es P5 = (3,9)

Answer 2

Al maximizar la función objetivo Z se obtiene:

X₁= 4.5; X₂ = 7.5

¿Qué es la programación lineal?

Es un método de optimización matemática que permite establecer un modelo de área en la que se maximiza la ganancia o se reducen los costos.

El método simplex es un método para resolver problemas de programación lineal.

Se puede hacer de forma gráfica, donde la intersección de las ecuaciones que se forman con los datos y restricciones. Se obtiene los puntos de interés a evaluar en la función objetivo.

La función objetivo es que permite maximizar la venta de los pantalones y casacas. (Ganancia)

¿Cuál es el resultado de maximizar Z?

Función objetivo

Z = 10X₁ +  20X₂

Restricciones

• - X₁ + 2X₂ ≤ 15
• X₁ + X₂ ≤ 12
• 5X₁ + 3X₂ ≤ 45
• X₁ ≥ 0
• X₂ ≥ 0

Aplicar método simplex; al graficar las restricciones se obtiene:

Para X₁= 3; X₂ = 9;

Evaluar;

Z = 10(3) +  20(9)

Z = $210

Para X₁= 4.5; X₂ = 7.5;

Evaluar;

Z = 10(4.5) +  20(7.5)

Z = $195

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