Si f es una función de variable real, tal que f (x) = |2x^2 - 3x + 1| - 2, entonces es verdad que:
∀x∈(1/2,∞) ,f es creciente
f es simétrica respecto a x=3/4.
f es par.
f (1) + f (1/2) > 0
Respuestas
La única condición que se cumple de las presentadas es la segunda: f es simétrica respecto a x = 3/4
Para verificar que la función es simétrica respecto a 3/4, en f debemos sustituir x por 3/2 - x, por lo que procedemos a esto
f(3/2-x) = | 2(3/2-x)² - 3(3/2-x) + 1 | - 2
Resolviendo 2(3/2 -x)² nos da:
2 (9/4 -3x + x²) = 2x² - 6x + 9/2
Ahora, vemos que -3(3/2 - x) = -9/2 + 3x. Sumando estos resultados nos da
2x² -6x + 9/2 - 9/2 +3x = 2x² - 3x
Por lo que f (3/2 - x) quedaría como
f(3/2-x) = | 2(3/2-x)² - 3(3/2-x) + 1 | - 2 = | 2x² -3x +1 | -2 = f(x), es decir
f(3/2-x) = f(x)
Por lo que f es simétrica respecto a x = 3/4
Una vez que sabemos que f es simétrica respecto x = 3/4, f no puede ser creciente en (1/2, ∞).
Vemos además que f(1/2) = f(1) = - 2, por lo que f(1/2) + f(1) = -4 no es mayor que 0.
Lo único que falta por verificar es que f sea par, para esto debemos mostrar que f(x) = f(-x)
Es decir |2x² - 3x + 1| - 2 = |2(-x)² - 3(-x) + 1| - 2 = |2(-x)² + 3x + 1| - 2
pero vemos que |2x² - 3x + 1| - 2 no puede ser igual a |2x² + 3x + 1| - 2 por el signo de -3x a 3x.
Por lo tanto hemos demostrado que f
- Es simétrica respecto a x = 3/4
- No es creciente en (1/2, ∞)
- No es par
- f(1) + f(1/2) < 0