Diseño de un tanque de base cuadrada. La fundidora donde usted trabaja ha sido contratada para diseñar y construir un tanque rectangular de acero, de base cuadrada, abierto por arriba y con una capacidad de 500 pies3. El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción, su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible.
Respuestas
La base debe ser un cuadrado de longitud 10 pies y la altura de 5 pies
Como es una base cuadrada entonces es un prisma de base cuadrada
Sea "a" la longitud de la base y "h" la altura, el volumen es:
V = a²*h = 500 pies³
h = 500 pies³/a²
El área será:
A = a² + 4*a*h
y sera proporcional al peso del tanque
Queremos:
Minimizar A = a² + 4*a*h
S.A. = h = 500 pies³/a²
Sustituyendo el valor de h:
A = a² + 4*a*(500 pies³/a²)
A = a² + 4*(500 pies³/a) = a² + 2000 pies³/a
Derivamos para encontrar el punto crítico:
A' = 2a - 2000 pies³/a²
A' = (2a³ - 2000 pies³)/a²
Igualamos a cero
A' = 0 ⇔ (2a³ - 2000 pies³)/a² = 0
⇔ 2a³ - 2000 pies³ = 0
⇔ 2a³ = 2000 pies³
⇔ a³ = 1000 pies³
a = ∛1000 pies³ = 10 pies
Buscamos la segunda derivada para verificar que es un mínimo:
A'' = 2 -(-2)*2000 pies³/a³
A'' = 2 + 4000 pies³/a³
A''(10 pies) = 2 + 4000 pies³/1000 pies³ = 2 + 4 = 6 > 0
Por el criterio de la segunda derivada es un mínimo
h = 500 pies³/(10 pies)² = 5 pies