en un colegio el numero de alumnos no pasa lo 250 estudiantes . si se juntan de 4 en 4 sobra 1, si se juntan de 8 en 8 sobran 5 pero si se juntan de 10 en 10 sobran 7 ¿ cuantos estudiantes hay
Respuestas
Tenemos un número finitos de soluciones que son: 37, 77,117,157, 197, 237
Sea "a" la cantidad de estudiantes:
a ≤ 250
Si se juntan de 4 en 4 sobra 1
a = 4k + 1, k entero y natural
Si se juntan de 8 en 8 sobran 5:
a = 8k1 + 5, k1 entero y natural
Si se juntan de 10 en 10 sobran 7
a = 10k2 + 7, k2 entero y natural
- "a" es impar pues es 4k + 1 = 2k3 + 1,
- Como a = 10k + 7
Supongamos que es múltiplo de 5:
10k + 7 = 5k4
5*2k +7 = 5k4
5k5 + 7 = 5k4
5k4 - 5k5 = 7
5*(k4 - k5) = 7
k4 - k5 = 7/5
Ahora k4 y k5 son enteros su resta debe ser entera, por lo tanto hay una contracción de suponer que es múltiplo de 5, no es múltiplo de 5.
No es par ni múltiplo de 5 y es menor que 250 y mayor que 10, si se agrupan de 10 en 10 sobran 7 entonces como hay más de 10 , habrá más o igual a 17, tomamos los números que son múltiplos de 10 y le sumamos 7, estos son:
17, 27, 37, 47, 57, 67,77,87,97,107, 117, 127, 137, 147, 157, 167, 177, 187, 197, 207, 217, 227, 237, 247
Quitamos los que al dividir por 4 no sobre 1: esto curre de manera alternada.
17, 37, 57,77,97,117, 137,157, 177, 197, 217, 237
Quitamos los que al dividir por 8 no sobre 5: esto curre de manera alternada.
37, 77,117,157, 197, 237