Utilizando las técnicas de graficación, trazar la gráfica de y=〖(1-x)〗^2 a partir de la gráfica de y=x^2,. Describir cada paso realizado para llegar a la solución.
Utilizando las técnicas de graficación, hallar la gráfica de y=〖-(|x|-1)〗^2. Describir cada paso realizado para llegar a la solución.
Utilizando las técnicas de graficación, trazar las gráficas de f(x)=1/2 x^3,h(x)=2x^3,m(x)=〖(2x)〗^3 a partir de la gráfica de y=x^3,. Describir cada paso realizado para llegar a la solución.
Respuestas
Los métodos de graficacion que se utilizan para este caso es el desplazamiento horizontal y el alargamiento y estiramiento, el procedimiento es el siguiente (ver imágenes adjunto):
La gráfica y=f(x+c) es la gráfica y=f(x) desplazada a la izquierda c unidades.
Suponiendo que c es mayor pero no igual a 0
- Para graficar y=f(x-c), se desplaza la gráfica de y=f(x) a la derecha c unidades
- Para graficar y= f(x+c), se desplaza la gráfica de y=f(x) a la izquierda c unidades.
Tus primeros dos ejercicio se resuelve considerando la definición anterior
La función de partida es y=x^2 (esta es la que se va a desplazar horizontalmente)
1.) y=〖(1-x)〗^2
se parte por y=(-x)^2 sabiendo que la función es par no hay cambios en este primer paso ahora tenemos que y=(1-x)^2 dada la orientación de la función resulta un poco difícil saber en que situación estamos en esta f(x+c) o en esta f(x-c).
¿Podemos decir que (1-x)^2 =(x-1)^2?
La respuesta es Sí.
Se puede resolver el producto notable en ambos lados para comprobar la igualdad.
(1-2x+x^2)=(x^2-2x+1)
Por lo que c=1
Entonces la función se desplaza hacia la derecha 1 unidad. (Ver imagen adjunto).
2.) y=〖-(|x|-1)〗^2
Este caso es un poco mas complicado que el anterior sobretodo por el valor absoluto.
Primero la función se puede reducir pues:
y=〖-(|x|-1)〗^2=(|x|-1)^2
Para el valor absoluto hay que considerar que:
- |x|=x si x≥0
- |x|=-x si x<0
Lo anterior nos dice que hay dos soluciones para la función
- si x≥0 la función "y" queda
y=(x-1)^2 y este caso es el mismo que el anterior descrito.
- si x<0 la función "y" queda
y=(-x-1)^2=(x+1)^2
Entonces en este caso la función y=x^2 se desplaza una unidad a la izquierda.
Para los siguientes ejercicios se usa:
Alargamiento y estiramiento horizontal.
En este caso te están solicitando o un alargamiento o estiramiento horizontal de una gráfica.
sea y=f(cx) donde c es una constante cualquiera.
Para cambiar la gráfica de y=f(x) a la gráfica de y =f(cx), se debe acortar o alargar la gráfica horizontalmente por un factor de 1/c.
Para saber como, solo hay que conocer los siguientes puntos.
La grafica de y=f(c):
- Si c (mayor pero no igual) a 1, acorte la grafica de y=f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.
- Si 0 (menor pero no igual) c (menor pero no igual) a 1, alargue la grafica de y=f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.
Resolviendo
Función de partida (esta es la que se va a alargar o acortar por el factor 1/c):
y=x^3
1.) f(x)=1/2 x^3
En este caso c=1/2, por lo tanto
1/c=1/1/2=2
En este caso c es menor que 1, por lo tanto para la función y=x^3 se alarga la gráfica horizontalmente por un factor de 2. Coloquialmente hablando es lo mismo que decir que la función se hace mas abierta en x un factor de 2.
2.) h(x)=2x^3
En este caso c=2 que es mayor que 1 por lo tanto en este caso que es el mismo que para la función m(x), se acorta horizontalmente y=x^3 por un factor de 1/c es decir 1/2. Coloquialmente hablando es lo mismo que decir que la función se hace mas cerrada en x un factor de 1/2.
3.) m(x)=〖(2x)〗^3= 8x^3
En este caso c=8 que es mayor que 1 por lo tanto, se acorta horizontalmente y=x^3 por un factor de 1/c es decir 1/8.
Coloquialmente hablando es lo mismo que decir que la función se hace mas cerrada en x un factor de 1/8 (como este número es mucho menor que 1/2, la función m(x) se cierra mucho mas que la función h(x) .
Observación: es importante saber como es la gráfica de partida, te anexare dos imágenes con la soluciones gráficas pero ojo, no son exacta es al tanteo, solo es para que sepas como debería de verse estas funciones. La razón de ser de estos procedimiento es que el estudiante con solo ver la función tenga una idea de como debería de verse su gráfica.
