Determinar si la función f(x)=5x^2+1 es inyectiva.
Determinar si la función f(x)=x+2 es inyectiva.
Determinar si la función f(x)=√x es inyectiva.
Determinar si la función f(x)=x^2+1 es sobreyectiva.
Determinar si la función f(x)=∛x es sobreyectiva.
Determinar si la función f(x)=x/(x+2) es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Respuestas
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Antes de desarrollar los ejercicios, procedemos a definir los conceptos
Función Inyectiva
Una función con dominio A es inyectiva si no hay dos elementos de A que tenga la misma imagen, esto es
f(x_{1})\neq f(x_{2}) siempre que x_{1}\neq x_{2}
Función Sobreyectiva
Una función es sobreyectiva cuando son iguales su dominio y codominio, esto es
para todo y en Y, existe al meno un x en X tal que f(x)=y (definido en todos los reales.
Función Biyectiva
Una función es Biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Resolviendo los ejercicios
1.) f(x)=5x^2+1
Para resolver si es inyectiva se puede hacer lo siguiente
5x_{1} ^{2} +1=5x_{2} ^{2} +1
5x_{1} ^{2}=5x_{2} ^{2}
x_{1} ^{2}=x_{2} ^{2}
x_{1} =\sqrt{x_{2} ^{2} }
x_{1} =±x_{2}
Esta función no es inyectiva porque existe dos número que da un mismo resultado, por ejemplo.
f(1)=6 y f(-1)=6
Para los casos de inyectiva se procederá siguiendo la forma anterior
2.) f(x)=x+2
x_{1} +2=x_{2}+2
x_{1} =x_{2}
Por lo tanto si es inyectiva
3.) f(x)=√x
\sqrt{x_{1} } =\sqrt{x_{2} }
x_{1}=x_{2}
Por lo tanto es inyectiva
4.) f(x)=x^2+1
Aca el dominio y el codominio debe ser iguales, para responder se analiza la función
f´=(f(x)/ x Real)=(x^2+1/ x real)
Es decir la función tiene resultados para todos lo valores reales de x, para el caso del dominio que seria todos los números reales es decir va (∞,-∞).
Sin embargo su codominio no tiene valores para los números que van (1,-∞). Por lo tanto no es sobreyectiva.
5.) f(x)=∛x
f=(f(x) / x reales)=(∛x /x reales)
El dominio y codominio son todos los reales (∞,-∞).
Observación: Para este caso es altamente recomendable saber como es la gráfica de la función ya que de esa forma es mas fácil ver el dominio y codominio
6.) f(x)=x/(x+2)
Esta función esta definida para todos los reales excepto en x=-2 ya que no existe un número dividido entre cero, esta es sobreyectiva.
Ahora vamos a ver si es inyectiva
\frac{x_{1} }{x_{1}+2 }=\frac{x_{2} }{x_{2}+2 }
x_{1}( x_{2}+2)=x_{2}( x_{1}+2)
x_{1} x_{2}+2 x_{1}=x_{2} x_{1}+2 x_{2}
2x_{1}= 2x_{2}
x_{1}= x_{2}
Por lo tanto es inyectiva. Por otro lado ya se puede decir que es biyectiva porque es sobreyectiva e inyectiva a la vez.