Question

Se deja caer una pelota A desde lo alto de un edificio en el mismo instante en que desde el suelo se lanza verticalmente una pelota B. En el momento en que las pelotas chocan, se encuentran desplazándose en sentidos iguales y la velocidad de la pelota A es cuatro veces la velocidad que lleva la pelota B. Hallar a qué altura del edificio se produce el choque expresando está en forma de fracción.​

Answer 1

La altura donde chocan las pelotas “A” y “B”  en forma de fracción es  h = H/3

H : Altura del edificio

h: Altura donde chocan las  pelotas “A” y “B”, medida desde el suelo.

• Primero ubicamos la altura máxima alcanzada por la pelota “B”

1) VfB = VoB – 2* g* hmaxB

Donde:

VoB: Velocidad inicial de lanzamiento de la pelota B

VfB: Velocidad final B, es igual a cero cuando alcanza su altura máxima

g: Aceleracion de la gravedad

hmaxB: Altura máxima que alcanza la pelota “B” medida desde el suelo

De 1), despejamos hmax:

hmax = VoB^2/2*g

• Luego hallamos el tiempo que tarda la pelota “B” en alcanzar  la altura máxima

2) VoB^2/2*g = VoB * t – (g*tmax^2/2),  

De 2) despejamos tmax

tmax= VoB/g

• Como el tiempo de vuelo de la pelota “A” hasta el impacto es igual al tiempo de vuelo de la pelota “B” :  tiempo que sube hasta la altura máxima mas el tiempo de vuelo desde la altura máxima hasta el impacto,  tA = tB + tmax .  Aplicando la ecuación de distancia para un MRUV obtenemos las ecuaciones  3) y 4)

3) VoB/2g – h = Vo * t + g*tB^2/2,  Donde Vo=0

4) H- h = Vo * t + g * tA^2/2, Donde Vo=0

De la ecuación 3) despejamos tB:

tB= SQR((VoB/g)^2 – 2*h/g)

De la ecuacion 4) despejamos tA:

tA=SQR(2*(H-h)/g)

Entonces como tA = tB + tmax

5) SQR(2*(H-h)/g) = SQR((VoB/g)^2 – 2*h/g) + VoB/g

Como sabemos que la velocidad final de la pelota “A” es cuatro (4) veces mayor a la velocidad final  de la pelota “B” en el momento del impacto: VfA = 4 * VfB

Hallamos las velocidades finales con la fórmula de velocidad final para MRUV:

6) VfA^2 = VoA^2 + 2* g * (H – h), donde la VoA = 0

7) VfB^2 = VoB^2 + 2 * g * (VoB^2/2*g  -  h),  donde VoB = 0

Entonces como VfA = 4 * VfB

8) H – h = 16* (VoB^2/2*g  -  h),

Sustituyendo 8) en 5)  obtenemos:

9) SQR(32* (VoB/2*g  -  2*h/g))  =  SQR ( (VoB/g)^2 – 2 * h / g)  + VoB / g    

De 9) despejamos h:

10) h = 4*VoB^2 / 9 * g

Sustituimos 10) en  8)  

11) H-4*VoB^2/9*g = 8*VoB /g  -  16*4 * VoB^2 / 9 *g

Despejamos H:

12) H= 4 *VoB^2/ 3 * g

Dividimos 12) entre 10) y nos da la relacion de Alturas:

13) H / h = 3

De aquí se desprende que h = H / 3