Respuestas
La solución de la inecuación es 0 < ²²/₃ .
La composición (fоg)₍ₓ₎ = 9x² + 42x + 49 (gоf)₍ₓ₎ = 3x² + 7
La parábola en la gráfica anexa.
Explicación paso a paso:
Resuelve: 5(x - 2) - ¹/₃ < 3(x - 1) + 2x
Resolvemos los productos aplicando propiedad distributiva y luego agrupamos los términos en x en el lado izquierdo de la desigualdad y los términos independientes en el lado derecho:
5(x - 2) - ¹/₃ < 3(x - 1) + 2x ⇒
5x - 10 - ¹/₃ < 3x - 3 + 2x ⇒
5x - 3x - 2x < ¹/₃ + 10 - 3 ⇒ 0 < ²²/₃
Composición: f₍ₓ₎ = x² g₍ₓ₎ = 3x + 7
Para realizar la composición de funciones se sustituye la variable de la función a componer (izquierda en el símbolo) por la expresión de la función composición (derecha en el símbolo):
a) (fоg)₍ₓ₎ = f₍g₍ₓ₎₎
(fоg)₍ₓ₎ = (3x + 7)² ⇒ (fоg)₍ₓ₎ = 9x² + 42x + 49
b) (gоf)₍ₓ₎ = g₍f₍ₓ₎₎
(gоf)₍ₓ₎ = 3(x²) + 7 ⇒ (gоf)₍ₓ₎ = 3x² + 7
Gráfica, vértice, eje, puntos de corte con ejes coordenados: y = 8x² - 2x
La gráfica de la parábola se anexa.
El vértice y el eje los hallamos a partir de la ecuación canónica, previa completación de cuadrados:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
(h, k) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
y = 8x² - 2x ⇒ y = 8[x² - ¹/₄x + (¹/₈)² - (¹/₈)²] ⇒
y = 8[(x - ¹/₈)² - ¹/₆₄] ⇒ y = 8(x - ¹/₈)² - ¹/₈ ⇒
(x - ¹/₈)² = (¹/₈)(y + ¹/₈)
donde
(¹/₈, -¹/₈) son las coordenadas del vértice y x = ¹/₈ es el eje.
Los puntos de corte con los ejes coordenados se hallan anulando una de las variables y despejando el o los valores de la otra variable que satisfacen la ecuación resultante:
Corte con el eje x (y = 0)
0 = 8x² - 2x ⇒ 2x(4x - 1) ⇒ x = 0 ∨ x = ¹/₄
Puntos de corte: (0, 0) (¹/₄, 0)
Corte con el eje y (x = 0)
y = 8(0)² - 2(0) ⇒ y = 0
Punto de corte: (0, 0)
