Question

Hallar la ecuación de las rectas que pasan por el punto (4,-2) y distan 2 unidades del origen

Answer 1

Formamos una familia de rectas que pasan por un punto.

Buscamos la intersección de la familia con una circunferencia de radio 2

La condición de tangencia exige que la ecuación de segundo grado que resulta tenga discriminante nulo.

Circunferencia: x² + y² = 4

Familia de rectas: y + 2 = m (x - 4); y = m x - 4 m - 2

Reemplazamos en la circunferencia:

x² + (m x - 4 m - 2)² = 4; quitamos el paréntesis y factoreamos con x² y x

x² (m² + 1) - x (8 m² + 4 m) + 16 m² + 16 m = 0

El discriminante es b² - 4 a c = 0, (condición de tangencia)

(8 m² + 4 m)² - 4 (m²+ 1) (16 m² + 16 m) = 0

Quitamos paréntesis:

- 48 m² - 64 m = 0

Hay dos soluciones: m = 0; m = -4/3

Las rectas a dos unidades del origen son:

y = - 2

y = - 4/3 (x - 4)  - 2 = - 4/3 x + 10/3

Se adjunta dibujo con todos los elementos a escala.

Mateo