ayuda por favor es urgente
Considerando las siguientes ecuaciones de
hipérbolas , determine las coordenadas del
centro, vértices y focos así como la representación gráfica.
a. (x+2)^2/9 - (9-5)^2/49=1
b. X^2/16-Y^2/7=1
c.9x2 - 4y2 - 54x + 8y + 113 = 0
Respuestas
Las coordenadas del centro, vértices y focos de las ecuaciones hiperbólicas son las siguientes:
Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos del plano, cuya diferencia de distancias desde dos puntos fijos F1 y F2 es una constante. Estos dos puntos fijos son los focos de la hipérbola.
Ecuación de la hipérbola
\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} }=1
Ésta es la ecuación de la hipérbola. Si sustituimos x por –x o y por –y en esta ecuación, permanecerá sin cambio, de modo que la hipérbola es simétrica alrededor de los ejes x y y y alrededor del origen. Los puntos de intersección x son ±a, y los puntos (a, 0) y (-a, 0) son los vértices de la hipérbola. No hay punto de intersección y porque hacer x 0 en la ecuación de la hipérbola lleva a –y2 b2, que no tiene solución real.
El segmento que une los dos vértices es el eje transverso de la hipérbola, y el origen recibe el nombre de centro.
Ecuaciones
Caso 1:
\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} }=1 (a mayor que cero, b mayor que cero)
Vertices : ( ±a,0)
Foco: (±c,0), c^2=a^2+b^2
Eje transverso: Horizontal, longitud 2a
Asintota: ±b/ax
Caso 2:
\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} }=1 (a mayor que cero, b mayor que cero)
Vértices : ( 0,±a)
Foco: (0,±c), c^2=a^2+b^2
Eje transverso: Vertical, longitud 2a
Asintota: ±a/bx
Las asíntotas mencionadas son rectas a las que la hipérbola se aproxima para valores grandes de x y de y.
Resolviendo
1.) (x+2)^2/9 - (y-5)^2/49=1
Estamos en un caso 1
El origen, de una hiperbola es (0,0) cuando la expresión de la hipérbola es x2/a2-y2/b2=1, sin embargo, en este caso hay desplazamiento horizontal en x y vertical en y, en este caso es bueno tener presente los métodos de graficación. El nuevo origen es (-2,5) ya que la hipérbola se desplaza 2 unidades a la izquierda y 5 unidades hacia arriba.
Vértices: como es el caso 1, entonces: a^2=9 a=±3
, los puntos de la vértice son (±3,0)
Foco: c^2=a^2+b^2=9+49=58 entonces c=±7.6, los puntos son: (±7.6,0)
2.) X^2/16-Y^2/7=1
Caso 1
el origen que es el centro es (0,0)
Vértice: como es caso 1: a^2=16 ↔ a=±4
, los puntos son:(±4,0)
Foco: c^2=a^2+b^2=16+7=23 ↔ c=±4,8 , los puntos son: (±4.8,0)
3.) 9x2 - 4y2 - 54x + 8y + 113 = 0
Este caso es el mas complicado ya que hay que llevar la expresión a una que se aproxime a la ecuación de la hipérbola por lo tanto hay que completar cuadrados
9x^2-4y^2-54x+8y+113=0
9x^2-54x -(4y^2-8y) +113=0 Agrupamos por variable y sacamos - en y
9x^2-54x+81-(4y^2-8y)+113-81=0 completamos la variable x
9x^2-54x+81-(4y^2-8y+4)+113-81+4=0 Ahora la variable y. Ojo en el -()
9x^2-54x+81-(4y^2-8y+4)+36=0
(3x-9)2-(2y-2)2=-36
Hasta acá vamos bien, pero aun nos falta llegar a la expresión deseada para ello.
(3x-9)^2-(2y-2)^2=-36
(3(x-3))^2-(2(y-1))^2=-36
9(x-3)^2-4(y-1)^2=-36
Solo falta dividir entre -36
\frac{9(x-3)^{2} }{-36}- \frac{4(y-1)^{2} }{-36}=1
-\frac{(x-3)^{2} }{4}+\frac{(y-1)^{2} }{9}=1
\frac{(y-1)^{2} }{9}-\frac{(x-3)^{2} }{4}=1
Es decir estamos en el caso 2 de las ecuaciones implicando que la hipérbola esta invertida, por lo tanto:
Origen: desplazado una unidad hacia arriba y 3 a la derecha es decir el punto (3,1))
Vértices: a^2=9 a=±3 el punto es: (0,±3)
Foco: c^2=a^2+b^2=9+4=13 c=±3.6 es decir (0,±3.6)
Respuesta:
Para resolver este problema se tienen las siguientes ecuaciones de elipses:
A) 9x² + 4y² - 36x - 8y + 4= 0
(9x² - 36x) + (4y² - 8y) + 4 = 0
(9x² - 36x + 36) + (4y² - 8y + 4) + 4 - 36 - 4 = 0
(3x - 6)² + (2y - 2)² = 36
(x - 2)²/(1/3)² + (y - 1)²/(1/2)² = 6²
Con estos datos se tiene que:
Centro = (2, 1)
Radio = 6
B) x² + 4y² - 6x + 16y + 21 = 0
(x² - 6x) + (4y² + 16y) + 21 = 0
(x - 3)² + (4y + 4)² + 21 - 9 - 16 = 0
(x - 3)² + (4y + 4)² = 4
(x - 3)² + (4y + 4)² = 2²
(x - 3)²/(1)² + (y + 1)²/(1/4)² = 2²
Centro = (3, -1)
Radio = 2
C) 16x² + 4y² + 32x + 16y - 32= 0
(16x² + 32x) + (4y² + 16y) - 32 = 0
(16x² + 32x + 16) + (4y² + 16y + 16) - 32 - 16 - 16 = 0
(4x + 4)² + (2y + 4)² = 64
(x + 1)²/(1/4)² + (y + 2)²/(1/2)² = 8²
Centro = (-1, -2)
Radio = 8