Question

En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si pq = 41 y p + q = 10, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) a + b = 65–√ II) h = 4 III) El área del triángulo ABC = 20

Answer 1

Las 3 afirmaciones que pertencen al triángulo ABC, son correctas.

Partiendo de todos los datos que indican en la imagen, los cuales son los siguientes:

• $\frac{p}{q} =\frac{4}{1}$
• $p+q=10$

Se puede comprobar que las tres afirmaciones que indican en la imagen son ciertas.

Para desarrollar este problema, utilizaremos los dos teoremas de Euclides, los cuales son los siguientes:

• Teorema de la altura:

$h^{2} =p*q$

Donde p y q son las divisiones de la base.

• Teorema del cateto:

Este teorema aplicado en este caso, quedarían de la siguiente forma:

$a^{2} =D*p\\b^{2} =D*q$

Entendiendose a D como la longitud de la base.

Si analizamos el primer dato podemos deducir que p=4q,y si aplicamos esto en el siguiente dato tendremos que:

$4q+q=10\\5q=10\\q=2$

Por lo que q=2 y p=8, si aplicamos el teorema de la altura, tenemos que:

$h^{2} =2*8\\h^{2}= 16\\h=4$

Por lo que la segunda afirmación es correcta.

Calculamos los catetos con el teorema de los catetos (para cada caso):

$a^{2} =8*10=80\\a=4\sqrt{5}$

$b^{2} =2*10=20\\b=2\sqrt{5}$

Si sumamos los valores de los catetos que nos dan, tenemos que:

$a+b=4\sqrt{5} +2\sqrt{5} =6\sqrt{5}$

Por lo que la primera afirmación es correcta.

Por último, si calculamos el área del triángulo, tenemos que:

$A=\frac{b*h}{2} =\frac{10*4}{2} =20$

Por lo que podemos decir que la tercera afirmación es correcta. De estos análisis se puede decir que las tres afirmaciones son correctas.