Question

Demostrar que tanx∙secx-senx= 〖tan〗^2 x∙senx
Probar que 2 (sen30°)/(sec30°)= sen60°.
Comprobar que 1-2〖sen〗^2 45°=0

Answer 1

Para poder realizar las siguientes demostraciones debemos tener en cuenta la siguientes identidades

• $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$
• $sec^2(x)-1 = tan^2(x)$
• $sin(45)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Comenzamos:

1) Primera pregunta

Como se sabe que $tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$ entonces en $tan(x)sec(x) - sin(x)$ podemos factorizar sin(x), quedando $tan(x)sec(x)-sin(x) = sin(x)(\frac{sec(x)}{cos(x)}-1) = sin(x)(sec^2(x)-1)$. Ahora, basándonos en la segunda identidad descrita, llegamos a la conclusión que $tan(x)sec(x)-sin(x)=sin(x)(sec^2(x)-1)=sin(x)tan^2(x)$

Como se quería demostrar

2) Segunda pregunta

Puesto que $sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$ entonces $cos(x)=\frac{1}{sec(x)}$; considerando esto, tenemos$2sin(30)/sec(30)=2sin(30)cos(30)$, pero por la primera identidad, esto es exactamente sin(2*30)=sin(60)

3) Tercera pregunta

Para resolver este problema tomamos la tercera identidad, lo que nos daría $1-2sin^2(45)=1 - 2(sin(45))^2 = 1 - 2(1/\sqrt{2})^2 = 1- 2/2 = 0$

Como se quería comprobar