Hola! Necesito resolución y procedimiento de un problema de aplicación de la función cuadrática. De antemano, les agradezco
En un medio de cultivo se introdujeron 500 bacterias que comienzan a reproducirse. Al cabo de cierto tiempo se modificó el medio y la cantidad de bacterias disminuyó. Se supone que el número de bacterias al cabo de t (tiempo en minutos) está dado por la función f(t) = - t² + 40t + 500
a) ¿Al cabo de cuántos minutos las bacterias alcanzaron su máximo? ¿Cuántas hubo en ese momento?
b) ¿Al cabo de cuántos minutos de iniciado el experimento comenzó a disminuír la población?
c) ¿Al cabo de cuántos minutos la población fue de 800 bacterias?
d) ¿Se extingue la población de bacterias? De ser así, ¿Cuándo?
Respuestas
En un medio de cultivo se introdujeron 500 bacterias que comienzan a reproducirse. Su población esta determinado por la Forma estándar de una función cuadrática de la siguiente forma:
Una función cuadrática f(x)=a^{2} + bx+c se puede expresar en la forma estándar
f(x)=a(x-h)^{2}+k
Complementando los cuadrados. La gráfica de f es una parábola con vértice (h,k): la parábola se abre hacia arriba si "a" es mayor a 0 /esto implica que es un mínimo) o hacia abajo si "a" es menor a 0 (esto implica que es un máximo). (Te voy a adjuntar un gráfico de esta definición)
Tu ejercicio se puede resolver de varias formas, una y a mi parecer mas fácil es usando la definición anterior.
Tenemos la función
f(t) = - t² + 40t + 500
Esa se lleva forma estándar completando cuadrados:
f(t)=-(t-20)² + 900
Si lo desarrollas veras que es igual a la función origen.
los vértices son h=20 y k=900, y además "a" es menor a cero esto implica que es un máximo.
Pregunta a:
Con lo anterior expuesto se puede decir que las bacterias alcanza su máximo a los 20 min.
Pregunta b:
Para responder esta pregunta sin necesidad de hacer cálculos basta con saber como es la función gráficamente.
Con la función estándar y con los métodos de gratificación, yo se que es una parábola desplazada 20 unidades a la derecha, invertida (porque hay un menos multiplicando) y desplazada 900 unidades hacia arriba. También se puede ver que f(0)=±50.
Entonces esta función primero no esta restringida por lo tanto se prolonga al infinito pues esta definida para todos los reales y segundo nunca alcanza un minino. (para ver lo mejor observa la imagen adjunta de como debería de verse esta función).
Pregunta c
solo sustituyes el valor de la siguiente forma:
800=-(t-20)² + 900 despeja t
t=30 min
Pregunta d
Fue respondida en la pregunta b, no se extingue la población.
