Question

Si un libro tuviera una hoja más, entonces se hubieran utilizado 7 tipos más . Si tuviera una hoja menos, se hubieran utilizado 6 tipos menos.
¿ Cuántas veces se empleó la cifra 5 en la enumeración de las páginas de ese libro ?

a) 20
b) 210
c) 300
d) 200
e) 310

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Conteo

$\textbf{Problema :}$

Si un libro tuviera una hoja más, entonces se hubieran utilizado 7 tipos más . Si tuviera una hoja menos, se hubieran utilizado 6 tipos menos.  

¿Cuántas veces se empleó la cifra 5 en la enumeración de las páginas de ese libro?

RESOLUCIÓN

Cuando nos hablan de tipos debemos entender que se refiere a las cifras que utiliza un libro para enumerar sus páginas, por ejemplo, un libro de 5 páginas emplea 5 tipos, ya que la enumeración de sus páginas son 1, 2, 3, 4, 5 donde se han empleado 5 cifras para enumerarlas, un libro de 12 páginas emplea 15 tipos ya que la enumeración es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 donde se han empleado 15 cifras para enumerar las páginas del libro.

Entonces si al agregar una hoja se han empleado 7 cifras, pero al quitar una hoja se han eliminado 6 cifras la única posibilidad es que el libro tenga 998 páginas.

Debido a que por ejemplo si el libro tuviese por ejemplo 538 páginas y al aumentar una hoja, quiere decir que se agregaron las páginas 539 y 540 (tenga en cuenta que en una hoja hay dos páginas) entonces se agregaron 6 cifras (o 6 tipos), si el libro tuviese 861 páginas y se agrega una hoja entonces se añadieron las páginas 862 y 863, se han empleado 6 tipos, entonces dese cuenta que hay que escoger un número conveniente de tal modo que al agregar una hoja se empleen 7 tipos, si escoge un número de tres cifras cualquiera lo más probable es que al agregar una hoja se emplee solo 6 tipos, sin embargo para el número 998 al agregar una hoja se añaden las páginas 999 y 1000 las cuales en total emplean 7 cifras (o 7 tipos) y al quitar la última hoja se eliminan las páginas 998 y 997 eliminándose así 6  tipos (o 6 cifras).

Entonces el libro tiene 998 páginas, ahora solo queda saber cuantas veces se ha empleado la cifra 5.

Primeramente encontremos cuantas veces se usa la cifra 5 para los números que van desde el 1 hasta el 99, entre ellos están el 5, 15, 25, 35, 45, 65, 75, 85, 95 con estos ya tenemos que se ha utilizado la cifra 5, un total de nueve veces, ahora tengamos en cuenta a 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 aquí hay un total de 11 cifras 5. Entonces desde el 1 hasta el 99 existen en total 20 cifras 5 desde el 1 hasta el 99.

Note que para encontrar la cantidad de cifras 5 empleadas desde el 100 hasta el 199 se sigue el mismo procedimiento por lo que hay 20 cifras 5.

Se utiliza un procedimiento análogo al anterior para números que van desde 200 hasta 299; 300 hasta 399; 400 hasta 499; 600 hasta 699; 700 hasta 799; 800 hasta 899 y 900 hasta 999

Entonces en total se han contabilizado $20 \times 9 = 180$ números que emplean la cifra 5.

Para el caso de 500 hasta 599 es especial, ya que siempre hay una cifra 5 en la parte izquierda y esta cifra aparecerá en la izquierda un total de 100 veces, y trabajando con las dos ultimas cifras de las derechas en ellas aparecerá la cifra 5 un total de 20 veces como se trabajo antes, se han contabilizado $100+20=120$ cifras 5 más.

Se concluye que en total existen $180+120=300$ cifras 5 en toda la enumeración de las páginas del libro.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Se empleo 300 veces la cifra 5 en la numeraci\'on de las p\'aginas}}$

Answer 2

Respuesta:

Tema: Conteo

\textbf{Problema :}Problema :

Si un libro tuviera una hoja más, entonces se hubieran utilizado 7 tipos más . Si tuviera una hoja menos, se hubieran utilizado 6 tipos menos.  

¿Cuántas veces se empleó la cifra 5 en la enumeración de las páginas de ese libro?

RESOLUCIÓN

Cuando nos hablan de tipos debemos entender que se refiere a las cifras que utiliza un libro para enumerar sus páginas, por ejemplo, un libro de 5 páginas emplea 5 tipos, ya que la enumeración de sus páginas son 1, 2, 3, 4, 5 donde se han empleado 5 cifras para enumerarlas, un libro de 12 páginas emplea 15 tipos ya que la enumeración es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 donde se han empleado 15 cifras para enumerar las páginas del libro.

Entonces si al agregar una hoja se han empleado 7 cifras, pero al quitar una hoja se han eliminado 6 cifras la única posibilidad es que el libro tenga 998 páginas.