Question

Para enumerar las páginas de un libro se utilizaron 768 cifras. Si se malogró la cifra 6 y se tuvo que que usar el 9 invertido. Determine cúantas veces se tuvo que utilizar la cifra 9.

a) 110
b) 100
c) 111
d) 222
e) 333

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Conteo

$\textbf{Problema :}$

Para enumerar las páginas de un libro se utilizaron 768 cifras. Si se malogró la cifra 6 y se tuvo que que usar el 9 invertido. Determine cuántas veces se tuvo que utilizar la cifra 9.

RESOLUCIÓN

Empecemos señalando una fórmula que nos indica la cantidad de cifras empleadas en una en la sucesión de los primeros $\textrm{N}$ números naturales.

                                       $\boxed{(\textrm{N} + 1) \textrm{k} - 111 \ldots 1 = C}$

Donde la cantidad de cifras de $\textrm{N}$ y $111 \ldots 1$ es $\textrm{k}$

De la fórmula.

                                       $(\textrm{N} + 1) \textrm{k} - 111 \ldots 1 = 768$

Asumiendo $\textrm{k} = 3$

                                       $(\textrm{N} + 1) \cdot 3 - 111 = 768$

Donde se deduce que $\textrm{N} = 292$ el cual tiene 3 cifras y por ende lo asumido inicialmente fue correcto.

Esto quiere decir que el libro tiene 292 páginas y debemos encontrar cuantas veces se usaron la cifra 6 o 9 al momento de enumerar las páginas del libro.

Empecemos contando cuantas cifras desde 1 hasta 99 llevan la cifra 6 o la cifra 9. Analizando los 9 primeros números naturales.

$A = \{1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\ ;\ 7\ ;\ 8\ ;\ 9 \}$

Notemos que existen 2 números que llevan la cifra 6 o la cifra 9, que en este caso son el 6 y 9 mismos.

Ahora consideremos el siguiente numeral $\overline{ab}$

Cuando $a = 1$ entonces el numeral toma la forma $\overline{1b}$ y solo existen 2 números de dicha forma los cuales llevan la cifra 6 o 9 los cuales son 16 y 19.

Análogamente cuando $a = 2$ existen solo dos números que emplean la cifra 6 o 9 los cuales son 26 y 29.

Generalizando se cumple lo mismo para $a \in \{0\ ;\ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 7\ ;\ 8 \}$

Tenga en cuenta que para cada valor de $a$ solo se ha empleado la cifra 6 o la cifra 9 dos veces, y como $a$ adopta 8 valores, entonces en total hasta ahora se han empleado $2 \times 8 = 16$ veces la cifra 6 o 9.

Para el caso de $a = 6$ es distinto ya que en todos los casos se ha empleado la cifra 6, veamos 60 ; 61 ; ... ; 66 ; 67 ; 68 ; 69 En total la cifra 6 aparece en la izquierda 10 veces y la cifra 6 o 9 aparece en la derecha solo 2 veces, decimos que en total se ha empleado la cifra 6 o 9 un total de 12 veces.

Para $a = 9$ se sigue el mismo procedimiento existe un total de 12 veces.

Se concluye que desde el 1 hasta el 99 se ha empleado las cifras 6 y 9 un total de $16 + 12 + 12 = 40$ veces.

Ahora note que para contar todas las veces en que se ha empleado la cifra 6 o 9 del 100 al 199, es decir, un numeral de la forma $\overline{1ab}$ es exactamente el mismo procedimiento que hicimos ya que el 1 del numeral se mantiene constante sin interferir en el resultado.

De este modo desde el 100 hasta el 199 se ha empleado la cifra 6 o 9 un total de 40 veces.

De forma análoga del 200 al 299 se ha empleado la cifra 6 o 9 un total de 40 veces.

Concluimos finalmente que desde el 1 hasta el 299 se empleado la cifra 6 o 9 un total de $40+40+40=120$ veces, sin embargo, el valor de $\textrm{N}$ es $\textrm{N} = 292$ entonces debemos no contabilizar las cifras 6 o 9 de los números 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299.

Contando en estos se ha empleado la cifra 6 o 9 un total de 9 veces entonces la cantidad de veces que se ha empleado la cifra 6 o 9 es $120-9=111$.

Se concluye que se ha utilizado la cifra 9 o 6 un total de 111 veces.

RESPUESTA  

$\boxed{\textrm{Se ha utilizado la cifra 9 o 6 un total de 111 veces}}$

Answer 2

primero señalando una fórmula que nos indica la cantidad de cifras empleadas en una en la sucesión de los primeros N números naturales.

(N+1)k − 111...1 = C

Donde la cantidad de cifras de Ny 111...1 es k

De la fórmula.

(N + 1)k -

(N + 1)k − 111...1=C

Donde la cantidad de cifras de Ny 111...1 es k

De la fórmula.

(N+1)k -

111...1768

Asumiendo k = 3

(N+1). 3

111 768

111... . 1 = 768

Asumiendo k = 3

(N+1) · 3 - .

111 = 768

Donde se deduce que N = 292 el cual tiene 3 cifras y por ende lo asumido inicialmente fue correcto.

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