Question

Al derivar la función ( y = tan³ 4x ) el resultado es:

Answer 1

$\frac{d}{dx}(y) = 12tan^2(4x)*sec^2(4x)$

Para poder derivar la función:

$y = tan^3(4x)$

debemos hacer uso de la regla de la cadena, que establece:

$\frac{d}{dx}(f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)$

En este caso, hablamos de que debemos derivar funciones que en su argumento contienen más funciones; para eso nos sirve dicha regla.

Iré realizando el procedimiento paso a paso; derivemos la función respecto de x:

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(tan^3(4x))$

$y' = \frac{d}{dx}(tan^3(4x))$

Un consejo para utilizar la regla de la cadena: debemos iniciar de las funciones más "externas" y terminar por las más internas. Aplicando la definición de la regla de la cadena, primero iniciemos por la potencia de la función tan^3(4x):

$y' = 3tan^2(4x)*\frac{d}{dx}(tan(4x))$

Lo que hicimos fue derivar primero a tan^3(4x), tal como si derivásemos una función de la forma u^3, solo que en este caso u = tan(4x). Ahora, debemos obtener la derivada de "u"; lo que estaba adentro de la potencia:

$y' = 3tan^2(4x)*\frac{d}{dx}(tan(4x))$

$y' = 3tan^2(4x)*(sec^2(4x)*\frac{d}{dx}(4x))$

Básicamente, derivamos a tan(4x) como si fuese una función de la forma tan(v), solamente que v  = 4x. Finalmente, tenemos que derivar a "v":

$y' = 3tan^2(4x)*(sec^2(4x)*\frac{d}{dx}(4x))$

$y' = 3tan^2(4x)*sec^2(4x)(4)$

$y' = 12tan^2(4x)*sec^2(4x)$

Así obtenemos el resultado final.

Espero que te sea de gran ayuda. Si necesitas ayuda nuevamente con algún punto que no haya quedado claro, avísame.

Saludos.