Question

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Dados los vértices de un triángulo : (-1,7);(8,4);(4,-8) La ecuación de la circunferencia circunscrita es:​

Answer 1

Explicación paso a paso:

Como la circunferencia es circunscrita sabemos que los vértices del triángulo son puntos que pertenecen a la circunferencia.

Ecuación de la Circunferencia

${x}^{2} + {y}^{2} + ax + by + c = 0$

Ahora tomamos cada punto y sustituimos los valores correspondientes en x e y de la ecuación de la circunferencia. Vamos a obtener 3 ecuaciones y nos tocará resolver el sistema 3x3

Punto (x,y)

Punto (-1,7)

${( - 1)}^{2} + {(7)}^{2} + a( - 1) + b(7) + c = 0 \\ 1 + 49 - a + 7b + c = 0 \\ - a + 7b + c = - 1 - 49 \\ - a + 7b + c = - 50$

E1: -a+7b+c=-50

Punto (8,4)

${(8)}^{2} + {(4)}^{2} + a(8) + b(4) + c = 0 \\ 64 + 16 + 8a + 4b + c = 0 \\ 8a + 4b + c = - 64 - 16 \\ 8a + 4b + c = - 80$

E2: 8a+4b+c=-80

Punto (4,-8)

${(4)}^{2} + {( - 8)}^{2} + a(4) + b( - 8) + c = 0 \\ 16 + 64 + 4a - 8b + c = 0 \\ 4a - 8b + c = - 16 - 64 \\ 4a - 8b + c = - 80$

E3: 4a-8b+c=-80

Ahora Buscamos eliminar la letra "c". Para ellos tomamos la E1 y E2 y multiplicamos la E1 por -1 y se la sumamos a las E2

Nos queda

-1(-a+7b+c=-50)

a-7b-c=50

8a+4b+c=-80

----------------------

9a-3b=-30 (E4)

Hacemos el mismo procedimiento anterior Pero trabajamos con la E1 y E3

-1(-a+7b+c=-50)

a-7b-c=50

4a-8b+c=-80

----------------------

5a-15b= -30 (E5)

Con la E4 y E5 formamos un nuevo sistema. Vamos a eliminar la letra b y para ello multiplicarlos por -5 la E4 y se lo sumamos a E5

-5(9a-3b=-30)

-45a+15b= 150

5a-15b=-30

----------------------

-40a=120

a= 120/-40

a= -3

Con el valor encontrado de "a" lo sustituimos en E4 para hallar a "b".

9a-3b=-30

9(-3)-3b=-30

-27-3b=-30

-3b=-30+27

-3b= -3

b= -3/-3

b= 1

Con "a" y "b" hallados, sustituimos en E1

-a+7b+c=-50

-(-3)+7(1)+c=-50

3+7+c=-50

c=-50-3-7

c=40

Ahora sustituimos "a" , "b" y "c" en la ecuación de la circunferencia.

${x}^{2} + {y}^{2} - 3x + y + 40 = 0$

Y esa será la ecuación de la circunferencia