Question

Supongamos que un derrame de petróleo se está limpiando por medio de bacterias esparcidas en él, los cuales lo consumen a una razón de 4 pies cúbicos por hora. El derrame de petróleo esta modelado por la forma de un cilindro muy delgado cuya altura es el grosor del cilindro de la capa de petróleo. Cuando el grosor de la capa es de 0.001 pie, el cilindro tiene 500 pies de diámetro. Si la altura disminuye 0.0005 pies por hora. ¿A qué razón cambia el área de la capa?

Answer 1

Respuesta:

94,175 ft²/h

Explicación:

Usaremos derivadas para resolver este problema.

Nos dice que las bacterias consumen el petroleo a una razón de 4ft³/hr o sea:

$\frac{dV}{dt}=-4ft^{3}/hr$

El volumen debe ser igual a:

$V=\pi hr^{2}$

y el cambio de la altura es:

$\frac{dh}{dt} =-0.0005ft^{2} /hr$

A=πr²=$\frac{V}{h}$ entonces:

$\frac{dA}{dt}=h^{-1}\frac{dV}{dt}-\frac{V}{h^{2} } \frac{dh}{dt}$

El problema dice que cuando h=0.001ft el volumen el diametro es igual a 500ft o sea su V=π(.001)(250)²=196.35ft³

Entonces

$\frac{dA}{dt}=94,174.77ft^{2} /h$

Answer 2

Utilizando la fórmula de volumen de cilindro

V = π R∧2 h.          

Se puede calcular el área de la capa al inicio y al final y luego con una sustracción sabe cuanto cambia dicha área

El grosor de la capa es la altura (h) = 0,001 pie

El diámetro es 500 pies, y como el radio es la mitad del diámetro entonces r = 250

El volumen inicial es:

V = 3,14 x (250)∧2 x 0,001 = 196,25 pies cúbicos

Y como la altura disminuye 0,0005 pies por hora

El nuevo volumen es  

V = 3,14 x (250)∧2 x 0,0005 = 98,125 pies

Como se ve el volumen del derrame de petróleo gracias a la acción de las bacterias se ha reducido a la mitad. Sin embargo, el área de la capa no cambia, lo que cambia es el grosor de la capa, es decir, la altura del cilindro.