Question

Sean A={x∈ℝ /x+1x−1⩾2} y B={x∈ℝ / x2+4x+3<0}.
Expresa dichos conjuntos
mediante intervalos y calcula la unión, la intersección y la diferencia de uno con el otro.
Calcula, además, los complementario y comprueba que se cumplen las leyes de De
Morgan

Answer 1

Tenemos que los conjuntos expresados en forma de intervalo es:

• A = x/ x ∈ [1.5,∞)
• B = x/ x ∈ (-3,-1)
• AUB = (-3,-1) U [1.5,∞)
• A ∩ B = ∅
• A - B = [1.5,∞)
• B - A =  (-3,-1)
• A' =  (-∞,1.5)
• B'= (-∞,-3] U [-1,∞)

En efecto se cumplen las leyes de Morgan que son:

• (A∩B)' = A' U B'
• (AUB)' = A' ∩ B'

A={x∈ℝ /x+1x−1⩾2}  = {x∈ℝ /2x−1 ⩾2 } = {x∈ℝ /2x⩾3} = {x∈ℝ /x⩾3/2 = 1.5}

A = x/ x ∈ [1.5,∞)

B={x∈ℝ / x²+4x+3<0}= {x∈ℝ / (x+3)*(x+1) <0}

Vemos el signo en cada intervalo:

Signo de:       -∞                -3                 -1                 ∞

(x+3)                          -                  +                   +

(x+1)                           -                  -                    +

(x+3)*(x+1)                 +                  -                   +

Por lo tanto como debe ser negativo:

B = x/ x ∈ (-3,-1)

La unión:

AUB = [1.5,∞) U (-3,-1) = (-3,-1) U [1.5,∞)

Intersección:

A ∩ B = [1.5,∞) ∩ (-3,-1) = ∅

Diferencia:

A - B = [1.5,∞) - (-3,-1) = [1.5,∞)

B - A = (-3,-1) - [1.5,∞) = (-3,-1)

Los complementos:

A' = [1.5,∞)'= (-∞,1.5)

B'= (-3,-1)' = (-∞,-3] U [-1,∞)

Leyes de Morgan:

• (A∩B)' = A' U B'

(A∩B)' son los reales

A' U B' = (-∞,1.5) U  (-∞,-3] U [-1,∞) = (-∞,1.5) U [-1,∞) = los reales.

• (AUB)' = A' ∩ B'

(AUB)' = ((-3,-1) U [1.5,∞))' = (-∞,-3] U [-1, 1.5)

A' ∩ B'  = (-∞,1.5)  ∩ ((-∞,-3] U [-1,∞)) = ((-∞,1.5)  ∩ (-∞,-3]) U ((-∞,1.5)  ∩  [-1,∞))

=  (-∞,-3] U  [-1, 1.5)

Answer 2

Explicación paso a paso:

me puedes ayudar con unos ejercicios