Desechando la posibilidad de cumplir años el 29 de febrero, suponga que es igualmente probable que un individuo
seleccionado al azar haya nacido en cualquiera de los demás 365 días.
a. Si se seleccionan al azar diez personas, ¿cuál es la probabilidad que tendrán diferentes cumpleaños? ¿De que
por lo menos dos tengan el mismo cumpleaños?
b. Si k reemplaza a diez en el inciso a), ¿cuál es la k más
pequeña para la cual existe por lo menos una probabilidad de 50-50 de que dos o más personas tengan el mismo cumpleaños?
Respuestas
La probabilidad de que todos tengan cumpleaños diferentes es 0.883051822 y de que al menos dos tengan el mismo cumpleaños es 0.116948178
La k mas pequeña para la cual existe por lo menos una probabilidad de 50-50 de que dos o más personas tengan el mismo cumpleaños es k = 23
Permutación: es la manera de tomar de un conjunto de n elementos k de ellos, donde el orden importa, la ecuación de permutación es:
Perm(n,k) = n!/((n-k)!)
La ecuación de probabilidad básica de que un evento A ocurra es:
P(A) = casos favorables/casos totales
La probabilidad de dos eventos A y B independientes es:
P(AyB) = P(A)*P(B)
La probabilidad de que por lo menos dos tengan el mismo cumpleaños:
Los casos totales serán las fechas de cumpleaños que puede tener cada uno como tomo 10 de ellos entonces cada uno tiene 365 fechas posible para cumplir año, los casos totales son:
365*365*....*365 (10 veces) = 365¹⁰
Los casos favorables: entonces suponemos que tomamos el grupo y todos cumplen en distintas fechas, entonces tenemos 365 días a permutar en un grupo de 10 elementos para un total de:
Perm(365,10) = 365!/(365-10)! = 365!/355!
La probabilidad de que ninguna cumpla el mismo día es:
P = 365!/355!/365¹⁰ = 0.883051822
La probabilidad de que por lo menos dos tengan el mismo cumpleaños: es 1 menos la probabilidad de que ninguno tenga el mismo cumpleaños:
= 1 - 0.883051822 = 0.116948178
Si k reemplaza a 10 entonces la probabilidad de que dos no tengan el mismo cumpleaños sera:
P = 365!/(365-n)!/ 365ⁿ con n = k
Ahora quiero que esto sea menor o igual que 0.5 de manera que 1 - 0.5 ≥ 0.5 que es la probabilidad de que do o mas tengan el mismo cumpleaños
365!/(365-n)!/ 365ⁿ ≤ 0.5con n = k
365!/(365-n)! ≤ 0.5*365ⁿ con n = k
Perm(365,n) ≤ 0.5*365ⁿ
Luego k debe ser mayor, por lo calculado en el inciso anterior Calculamos en excel las permutaciones para k mayor que 10 hasta que cumple con que dicha condición, luego de colocar los dos valores se coloca una prueba lógica que arroja vació si la primera columna es mayor que la segunda y 1 en caso contrario
Vemos que para k ≥ 23 entonces arroja 1
Por lo tanto el k as pequeño es 23
