Question

6) El numero de Cadernos que tiene Fernando, es mayor
que 800 y menor que 1000 si se cuentan de I5 en 15 de
26 en 20 o de 25 en 25 siempre sobran 12 ¿cuantos
cuadernos tiene Fernando ?​

Answer 1

6) El número de cuadernos que tiene Fernando, es mayor que 800 y menor que 1000. Si se cuentan de 15 en 15, de  20 en 20 ó de 25 en 25, siempre sobran 12 ¿cuántos cuadernos tiene Fernando?

Respuestas: Fernando tiene 912 cuadernos.

Explicación paso a paso:

Vamos a llamar C al número de cuadernos que tiene Fernando.

Vamos a indicar con el exponente ᶬ que un número es múltiplo de la base.

Nos dicen que si contamos los cuadernos de 15 en 15 sobran 12

Esto se puede expresar como C = 15ᶬ + 12

Nos dicen que si contamos los cuadernos de 20 en 20 sobran 12

Esto se puede expresar como C = 20ᶬ + 12

Nos dicen que si contamos los cuadernos de 25 en 25 sobran 12

Esto se puede expresar como C = 25ᶬ + 12

Hay una propiedad de los múltiplos que dice que si un número es múltiplo de dos o más números, entonces es múltiplo del mínimo común múltiplo de esos números.

C = 15ᶬ + 12

C = 20ᶬ + 12

C = 25ᶬ + 12

Como el número buscado es múltiplo de 15, 20 y 25, y sobran 12 unidades, entonces será múltiplo del mínimo común múltiplo de estos números, y sobran 12 unidades:

C = [M.C.M.(15,20,25)]ᶬ + 12

factorizamos estos números

15/3

5/5

1

15 = 3 x 5  

20/2

10/2

5/5

1

20 = 2² x 5

25/5

5/5

1

25 = 5²

El mínimo común múltiplo de estos números es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:

El mínimo común múltiplo de 15,20,25 = 2²×3×5² = 4x3x25 = 300

C = 300ᶬ + 12 => el número de cuadernos debe ser múltiplo de 300 y sobran 12 unidades.

Cₙ = n×300 + 12 siendo n∈ℕ

Como el enunciado dice que el número buscado es mayor que 800 y menor que 1000 cuadernos, la única solución es cuando n = 3.

C₃ = 3 × 300 + 12 = 912 cuadernos, que es un número entre 800 y 1000.

Respuesta: Fernando tiene 912 cuadernos.

Verificación

C₃ = 912 contando de 15 en 15 sobran → 912(mod 15) = 12, sobran 12

[912/15 = 60,... ] , [60×15 = 900] , [912-900 = 12]

C₃ = 912 contando de 20 en 20 sobran → 912(mod 20) = 12, sobran 12

[912/20 = 45,... ] , [45×20 = 900] , [912-900 = 12]

C₃ = 912 contando de 25 en 25 sobran → 912(mod 25) = 12, sobran 12

[912/25 = 36,... ], [36×25 = 900] , [912-900 = 12]

Queda comprobado que este número cumple las condiciones.

$\textit{\textbf{Michael Spymore}}$