Question

ecuacion
y\ln y dx +xdy =0^(con)y(1)=1

Answer 1

La Ecuación Diferencial (ed)     $(\frac{y}{Ln(y)})dx+xdy=0$      es una ed de variables separables, cuya solución general es     $Ln(x)+(\frac{(Ln(y))^{2}}{2})=C$      y la solución particular asociada a las condiciones iniciales     y(1)  =  1         es         $Ln(x)+(\frac{(Ln(y))^{2}}{2})=0$.

Explicación:

Una ed de variables separables se expresa de la siguiente manera:

${f_{(x)}}{j_{(y)}}dx+{h_{(y)}}{g_{(x)}}dy=0$

pudiendo reescribirse, mediante el uso del factor integrante:  $FI=\frac{1}{g_{(x)} j_{(y)}}$

reagrupada de la siguiente manera:

$\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}dx+\frac{h_{(y)}}{j_{(y)}}dy=0$

La solución general de esta ed viene dada por:

$\int{\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}\,dx}+\int{\frac{h_{(y)}}{j_{(y)}}\,dy}=C$

En el caso que nos ocupa:                $(\frac{y}{Ln(y)})dx+xdy=0$

1.- Se define el factor integrante y reescribimos la ed:

$FI=\frac{Ln(y)}{yx}$          ⇒

$(ED)(FI): ((\frac{y}{Ln(y)})dx+xdy=0)(\frac{Ln(y)}{yx})$        ⇒  

$\frac{dx}{x}+(\frac{Ln(y)}{y})dy=0$

2.- Integramos para obtener la solución general

$\int{\frac{1}{x}}\,dx}+\int{(\frac{Ln(y)}{y})}\,dy}=0$

La primera integral es inmediata, mientras que la segunda se resuelve aplicando el cambio de variable:    u  =  Ln(y)

La solución general es:

$Ln(x)+(\frac{(Ln(y))^{2}}{2})=C$

3.- Sustituimos las condiciones iniciales para hallar la solución particular:

Si    x  =  1        ^           y  =  1

$Ln(1)+(\frac{(Ln(1))^{2}}{2})=C$        ⇒          C  =  0

Por lo tanto la solución particular solicitada es:

$Ln(x)+(\frac{(Ln(y))^{2}}{2})=0$