Question

Desarrollar lo de imagen adjunta correctamente .

Answer 1

Antes de empezar, recordemos estas dos propiedades de las transformaciones lineales.

Sea T una transformación lineal, A y B dos vectores, y r un escalar:

$T(A + B) = T(A) + T(B) \\ \\ T(rA) = rT(A)$


Recordemos también los vectores canónicos de R³.

$e_{1} = (1,0,0) \\ \\ e_{2} = (0,1,0) \\ \\ e_{3} = (0,0,1)$

Bien, empecemos.

Sabemos que:

$f(0, - 1,1) = (1,2)$

Expresando el vector (0, -1, 1) como la suma de dos vectores, y aplicando las propiedades anteriormente mencionadas, podemos llegar a una ecuación en términos de los vectores canónicos, así:

$f(0, - 1,1) = f((0, - 1,0) + (0,0,1)) \\ \\ = f(0, - 1,0) + f(0,0,1) \\ \\ = - f(0,1,0) + f(0,0,1) \\ \\ = - f(e_{2}) + f(e_{3}) = (1,2)$

La ecuación que obtenemos es:

$f(e_{3}) - f(e_{2}) = (1,2) \: \: \: \: \: \: (1)$

Hacemos lo mismo para el vector (1, -1, 0):

$f(1, - 1,0) = f((1,0,0) + (0, - 1,0)) \\ \\ = f(1,0,0) + f(0, - 1,0) \\ \\ = f(1,0,0) - f(0, 1,0) \\ \\ = f(e_{1}) - f(e_{2}) = (3,4)$

Obtenemos entonces una segunda ecuación:

$f(e_{1}) - f(e_{2}) = (3,4) \: \: \: \: \: \: \: (2)$

Para el caso del vector (1, 0, 0), no es necesario expresarlo como una suma, pues éste vector es e₁:

$f(1,0,0) = f(e_{1}) = (5,6)$

Nuestra tercera ecuación es:

$f(e_{1}) = (5,6) \: \: \: \: \: \: \: (3)$

Ahora, debemos resolver el sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3). En este caso, lo resolveré por sustitución.

Reemplazando (3) en (2):

$(5,6) - f(e_{2}) = (3,4) \\ \\ f(e_{2}) = (5,6) - (3,4) \\ \\ f(e_{2}) = (2,2)$

Reemplazando en (1):

$f(e_{3}) - (2,2) = (1,2) \\ \\ f(e_{3}) = (1,2) + (2,2) \\ \\ f(e_{3}) = (3,4)$

La solución del sistema es:

$f(e_{1}) = (5,6) \\ \\ f(e_{2}) = (2,2) \\ \\ f(e_{3}) = (3,4)$

Bien, ya casi terminamos. Para hallar f(x, y, z), hacemos prácticamente lo mismo: expresamos (x, y, z) como una suma, aplicamos propiedades, y reemplazamos las soluciones que obtuvimos del sistema de ecuaciones:

$f(x,y,z) = f((x,0,0) + (0,y,0) + (0,0,z)) \\ \\ = f(x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)) \\ \\ = f(x(e_{1})) + f(y(e_{2})) + f(z(e_{3})) \\ \\ = x(f(e_{1})) + y(f(e_{2})) + z(f(e_{3})) \\ \\ = x(5,6) + y(2,2) + z(3,4) \\ \\ = (5x + 2y + 3z,6x + 2y + 4z)$

Respuesta:

$f(x,y,z) = (5x + 2y + 3z,6x + 2y + 4z)$

Espero haya quedado todo claro. Si tienes alguna duda, puedes dejarla en un comentario

Answer 2

Respuesta:

Sea T una transformación lineal, A y B dos vectores, y r un escalar:

\begin{gathered}T(A + B) = T(A) + T(B) \\ \\ T(rA) = rT(A)\end{gathered}T(A+B)=T(A)+T(B)T(rA)=rT(A)

Recordemos también los vectores canónicos de R³.

\begin{gathered}e_{1} = (1,0,0) \\ \\ e_{2} = (0,1,0) \\ \\ e_{3} = (0,0,1)\end{gathered}e1=(1,0,0)e2=(0,1,0)e3=(0,0,1)

Bien, empecemos.

Sabemos que:

f(0, - 1,1) = (1,2)f(0,−1,1)=(1,2)

Expresando el vector (0, -1, 1) como la suma de dos vectores, y aplicando las propiedades anteriormente mencionadas, podemos llegar a una ecuación en términos de los vectores canónicos, así:

\begin{gathered}f(0, - 1,1) = f((0, - 1,0) + (0,0,1)) \\ \\ = f(0, - 1,0) + f(0,0,1) \\ \\ = - f(0,1,0) + f(0,0,1) \\ \\ = - f(e_{2}) + f(e_{3}) = (1,2)\end{gathered}f(0,−1,1)=f((0,−1,0)+(0,0,1))=f(0,−1,0)+f(0,0,1)=−f(0,1,0)+f(0,0,1)=−f(e2)+f(e3)=(1,2)

La ecuación que obtenemos es:

f(e_{3}) - f(e_{2}) = (1,2) \: \: \: \: \: \: (1)f(e3)−f(e2)=(1,2)(1)

Hacemos lo mismo para el vector (1, -1, 0):

\begin{gathered}f(1, - 1,0) = f((1,0,0) + (0, - 1,0)) \\ \\ = f(1,0,0) + f(0, - 1,0) \\ \\ = f(1,0,0) - f(0, 1,0) \\ \\ = f(e_{1}) - f(e_{2}) = (3,4)\end{gathered}f(1,−1,0)=f((1,0,0)+(0,−1,0))=f(1,0,0)+f(0,−1,0)