Question

cos2 a - sen2 a =1/2

Proceso... Ayuda.
cot B • sen2 B = 1+cos2 B​

Answer 1

Los ángulos a y b que satisfacen las expresiones dadas son: $a=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\:a=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ y para b: $b=\frac{\pi }{2}+2\pi n,\:b=\frac{3\pi }{2}+2\pi n,\:b=\arctan \left(2\right)+\pi n$

Explicación:

cos(a)² - sen(a)² =1/2

usamos la siguiente identidad trigonométrica: $\cos ^2\left(a\right)-\sin ^2\left(a\right)=\cos \left(2a\right)$

Nos queda:

$\cos \left(2a\right)=\frac{1}{2}$

$a=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\:a=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$

Donde n ∈ Z

El otro ejercicio: $cot\left(b\right)\cdot \sin \left(b\right)^2=1+\cos \left(2b\right)$

Como cot(b) = cos(b) / sin(b) nos queda:

$cos\left(b\right)\cdot \sin \left(b\right)=1+\cos \left(2b\right)$

igualamos a cero:

$-\cos \left(2b\right)+\cos \left(b\right)\sin \left(b\right)-1=0$

Usamos la siguiente identidad: $\cos \left(2b\right)=-1+2\cos ^2\left(b\right)$

$-\left(-1+2\cos ^2\left(b\right)\right)-1+\cos \left(b\right)\sin \left(b\right)=0$

Sacamos factor común cos(b)

$\cos \left(b\right)\left(-2\cos \left(b\right)+\sin \left(b\right)\right)=0$

Para que la expresión sera cero se debe cumplir que:

$\cos \left(b\right)=0\quad \mathrm{o}\quad \:-2\cos \left(b\right)+\sin \left(b\right)=0$

$\cos \left(b\right)=0\quad :\quad b=\frac{\pi }{2}+2\pi n,\:b=\frac{3\pi }{2}+2\pi n$

Para la otra expresión, dividimos entre cos(b)

$\frac{-2\cos \left(b\right)+\sin \left(b\right)}{\cos \left(b\right)}=0$

$\tan \left(b\right)-2=0$

Por lo que todas las soluciones posibles para b nos queda:

$b=\frac{\pi }{2}+2\pi n,\:b=\frac{3\pi }{2}+2\pi n,\:b=\arctan \left(2\right)+\pi n$