Question

Calcular el discriminante de las siguientes ecuaciones y determine si existen soluciones.
y=x+15/x-8

y=x/3+18/x+5

y=4/(x+3)+3/(x-3)-7/3

y=(x-8)/(x+2)-(x-1)/(2x+10)

Answer 1

Explicación:

Primero, vamos a simplificar cada una de las expresiones,

1. x + 15/x + 8, podemos multiplicar y dividir todo por x, quedando: (x/x)(x+15/x-8)=(x²+15-8x)/x = 0, lo que implica que x² - 8x + 15 = 0
2. x/3+18x+5, podemos multiplicar y dividir entre 3x, quedando: (3x/3x) (x/3 + 18/x + 5) = (x² + 54+15x)/(3x) = 0, lo que implica que x²+15x+54 = 0
3. 4/(x+3)+3/(x-3)-7/3, podemos multiplicar y dividir entre 3(x²-9), lo que queda como: ( 3(x²-9) )/( 3(x²-9) )(4/(x+3)+3/(x-3)-7/3) = ( 12(x-3) + 9(x+3) - 7(x²-9) )/( 3(x²-9) ) = 0, lo que implica que 12(x-3)+9(x+3)-7(x²-9) = 0 o 12x-36+9x+27 7x²+63 = 0 => -7 x²+21x +54 = 0
4. (x-8)/(x+2)-(x-1)/(2x+10), aquí podemos hacer suma cruzada de la siguiente manera $\frac{x-8}{x+2}-\frac{x-1}{2x+10} = \frac{(2x+10)(x-8) - (x-1)(x+2)}{(x+2)(2x+10)}$. Simplificando, queda: $(x-8)(2x+10) = 2(x-8)(x+5)=2(x^2+5x-8x-40)=2(x^2-3x-40)= 2x^2 - 6x - 80\\\\\\(x-1)(x+2)=x^2+2x-x-2 = x^2+x-2\\\\\\(x-8)(2x+10=-(x-1)(x+2)= 2x^2 - 6x - 80 - x^2 - x + 2 = x^2-7x - 78\\\\\\(x-8)(2x+10=-(x-1)(x+2) =  x^2-7x - 78$, por lo que igualamos el denominador a 0, siendo x² -7x - 78 = 0.

Ahora si vamos a determinar el discriminante de cada ecuación.

Nota: El discriminante de una ecuación de segundo grado se define de la siguiente manera: $ax^2+bx+c = 0\\discriminante = \sqrt{b^2-4ac}$

1. $x^2 - 8x + 15 = 0\\\\discrminante = \sqrt{8^2 - 4*15} = \sqrt{4} = 2$
2. $x^2 + 15x +54\\\\discriminante = \sqrt{15^2 -4*54} = \sqrt{225 - 216} =\sqrt{9} = 3$
3. $-7x^2+21x+54=0\\\\discriminante = \sqrt{21^2 - 4(-7)(54)} = \sqrt{441+1512} = \sqrt{1953} = 3\sqrt{217}$
4. $x^2 - 7x - 78 = 0\\\\discriminante = \sqrt{7^2 -4(-78)} = \sqrt{49+312} =\sqrt{361}= 19$