Question

12. Supongamos que el mínimo valor posible de la expresión ab//ba – 3, donde a y b son dígitos no nulos, es q. Si q se puede expresar como m/n donde m y n son enteros positivos coprimos, calcule el valor de m + n.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Números Racionales

$\textbf{Problema :}$

Supongamos que el mínimo valor posible de la expresión $E = \left | \dfrac{\overline{ab}}{\overline{ba}} - 3 \right |$ donde $a$ y $b$ son dígitos no nulos, es $q$. Si $q$ se puede expresar como $\dfrac{m}{n}$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos, calcule el valor de $m+n$.

RESOLUCIÓN

Para toda $x \in \mathbb{R}$ se cumple que $|x| \geq 0$ Esto nos indica que el mínimo valor de $|x|$ es cero y toma este valor solo cuando $x=0$ Asumamos que ocurre esto en $E$ de este modo.

                                                  $\left | \dfrac{\overline{ab}}{\overline{ba}} - 3 \right | = 0$

                                                  $\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ba}} - 3 = 0$

                                                  $\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ba}} = 3$

                                                  $\overline{ab} = 3 \cdot \overline{ba}$

Descomponiendo canónicamente ambos numerales.

                                           $10a+b = 3 \cdot (10b+a)$

                                           $10a+b = 30b+3a$

                                           $7a = 29b$

                                           $\dfrac{a}{b} = \dfrac{29}{7}$

A partir de aquí tenga en cuenta que $a$ y $b$ son números naturales, por lo que la mínima solución de esta igualdad es $a = 29$ y $b = 7$ sin embargo esta solución no es posible, con lo cual, la expresión no puede ser cero, ya que al ser $a$ y $b$ las cifras de un numeral entonces no pueden exceder el valor de 9. Sin embargo esto nos ayudará a encontrar el valor mínimo.

                                                $a = \dfrac{29}{7} b$

Aprovechando que $0< a \leq 9$ entonces.

                                                $0 < \dfrac{29}{7} b \leq 9$

                                                $0 < b \leq 9 \cdot \dfrac{7}{29}$

                                                $0 < b \leq 2.17$

Entonces para que la expresión asuma su mínimo valor $b \in \{1\ ;\ 2 \}$ Asumiendo $b = 1$ entonces $a \approx 4.14$ como $a$ debe ser un natural entonces tomamos el valor más cercano el cual es $a = 4$ entonces $\overline{ab} = 41$

Con lo cual la expresión mínima es.

                                         $\left | \dfrac{41}{14} - 3 \right | = \left | \dfrac{1}{14} \right | = \dfrac{1}{14}$

Para $b = 2$ se consigue $a = 8$ y el valor de la expresión $\dfrac{1}{14}$

Entonces el valor de $q$ es $q = \dfrac{1}{14}$ con lo cual $m = 1$ y $n = 14$siendo $m+n=15$

RESPUESTA

$\boxed{m+n=15}$