Question

Resuelve con fracciones. Expresa la solucion en la recta numerica y como intervalo.

A) 1/3+ 1/2 | x- 1/2 | 2 4/3

Tengo un problema con esto, no sé por que hay una "|" en medio de los numeros y no entiendo por que, hice las fracciones con un "/" porque no sé de que otra manera representarlo.
Dejo una foto para ayudar mas!

Answer 1

Las fracciones son números que se obtienen al dividir un número entero en partes iguales. Cuando forman parte de una inecuación se emplean las mismas operaciones de fracciones conocidas (suma, resta, multiplicación). Estas inecuaciones son representadas en la recta númerica y como intervalo en el plano cartesiano.

En matemáticas, se le llama valor absoluto o módulo de un número al valor numérico del mismo sin tomar en cuenta su signo. Es denotado por barras "|". Ejemplo:

$|b|=b\\|-a|=a$  

Para éste caso, tenemos una expresión de la forma:

$\frac{1}{3}+ \frac{1}{2}|x-\frac{1}{2}|\leq \frac{4}{3}$

 

Para resolver este ejercicio debemos aplicar la siguiente propiedad del valor absoluto para inecuaciones:

$|a+bx|\leq c\\-c\leq a+bx \leq c$

Pero antes debemos reorganizar la expresión. Para esto, primero restamos a ambos lados $\frac{1}{3}$:

$-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}+ \frac{1}{2}|x-\frac{1}{2}|\leq \frac{4}{3}-\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}|x-\frac{1}{2}|\leq 1$

Luego, multiplicamos a ambos lados por $2$:

$(2) \frac{1}{2}|x-\frac{1}{2}|\leq 1(2)$

Resultando:

$|x-\frac{1}{2}|\leq 2$

Aplicamos la propiedad:

$-2 \leq x-\frac{1}{2} \leq 2$

Ahora tendremos dos condiciones:

• Condición 1: $x-\frac{1}{2} \geq -2$

Despejamos la "x":

$x\geq -\frac{3}{2}$

• Condición 2: $x-\frac{1}{2} \leq 2$

Despejamos la "x":

$x\leq \frac{5}{2}$

 

Por lo tanto, la solución será:

$-\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$

En las figuras adjuntas se observa tanto la representación en la recta numérica como el intervalo.