Respuestas
En las primeras ecuaciones debes recordar estas propiedades:
1. (a-b)^{2} =(a-b)(a-b)= a^{2}-2ab+b^{2}
2. (a+b)^{2} =(a+b)(a+b)= a^{2}+2ab+b^{2}
3. a^{2}-bz{2}=(a+b)(a-b)
También esta el caso donde el primer termino se escribe distinto de 1 quedando la ecuación de la forma:
4. ax^{2} +bx+c
Resolviendo la primera pregunta:
La primera ecuación es aplicando la propiedad 3
1.) x^{2} -16=0
x^{2} -16=(x-4)(x+4)=0
Por lo tanto la solución para x es: x=4 ó x=-4
2.) x^{2} +7x=0
Acá solo consideras la propiedad distributiva para despejar x
x^{2} +7x=x(x+7)=0
Por lo tanto la solución para x es: x=0 ó x=-7
Las siguientes dos ecuaciones tienen la forma de la propiedades 1 y 2, se puede realizar considerando, primero el signo que acompaña cada coeficiente y segundo buscando lo siguiente.
Ecuación general:
x^{2} +AX+B
De la ecuación general dos números cuyo producto te de B y suma te de A. OJO: Esto es solo valido para la epresión anterior y debes considerar el signo que acompaña al valor (Ax). Mas adelante veras la diferencia.
3.) x^{2} -10x+25=0
Aplicando lo anterior debo buscar dos números cuyo producto me de +25 y suma -10, esos dos números son: -5 y -5
x^{2} -10x+25=(x-5)(x-5)=0
Por lo tanto la solución para x es: x=5
4.) x^{2} +2x-3=0
Acá debo buscar dos números cuyo producto me de -3 y suma +2
x^{2} +2x-3=(x+3)(x-1)=0
Por lo tanto las solución para x es: x=-3 ó x=1
5.) 2x^{2} +7x-4=0
En este caso la situación se complica, pues de entrada no se puede aplicar lo explicado anteriormente. Antes se debe aplicar un paso más. Para resolver sin aplicar resolvente que seria el camino fácil.
Primero multiplicas toda la expresión por 2 que es el valor que acompaña el primer miembro.
4x^{2}+2(7x)-8=0
Pero tenemos 4x^{2} =(2x)^{2} y 2(7x)=7(2x) y asi se puede escribir
(2x)^{2} + 7(2x)- 8=0
Ahora si se puede aplicar algo similar a lo anterior, considerando que el primer factor sera la raíz cuadrada de (2x)^{2}, buscando dos números cuya diferencia sea 7 y producto se -8
(2x -1 )(2x+8 )=(2x)^{2} + 7(2x)- 8=0
Ahora solo queda regresar a la expresión inicial. como en principio se multiplico por 2 el resultado (2x-1)(2x+8) se debe dividir entre 2:
\frac{(2x-1)(2x+8)}{2}=0
como todos los números presentes son divisibles entre 2 se simplifica un poco quedando como resultado final
(x-1/2)(x+4)=0
la solución para x es: x=1/2 ó x=-4.
Fin de la pregunta 1
Pregunta 2: Para la pregunta dos solo debes aplicar la formula de la resolvente.
x=\frac{-b (+-) \sqrt{b^{2}-4ab} }{2a}
La formula general
ax^{2} +bX+c
1.) x^{2} -8x+12=0
si te fijas en la formula general quedaría de la siguiente forma: a=1, b=-8 y c=12, introduce estos datos en la ecuación de la resolvente, de allí se obtiene las dos soluciones para x por ello la formula trae solución de la raíz para + y -
x=\frac{-(-8) (+-) \sqrt{(-8)^{2}-4(1*12)} }{2*1}=\frac{8+-\sqrt{16} }{2} =\frac{8+-4 }{2}
de aca se obtienen las soluciones para x:
x1=\frac{8+4}{2} =6
x2=\frac{8-4}{2} =2
La ecuación factorizada seria
x^{2} -8x+12=(x-6)(x-2)=0
2.) x^{2}-20x+100=0
a=1
b=-20
c=100
x=\frac{-(-20) (+-) \sqrt{(-20)^{2}-4(1*100)} }{2*1}=\frac{20+-\sqrt{0} }{2} =\frac{20 }{2}=10
en este caso x solo tiene valores positivo x=10 la ecuación seria
x^{2}-20x+100=(x+10)(x+10)=0
3.) x^{2} +2x-8=0
a=1
b=2
c=-8
x=\frac{-2 (+-) \sqrt{(2)^{2}-4(1*(-8))} }{2*1}=\frac{-2+-\sqrt{36} }{2} =\frac{-2(+-)6 }{2}
En el resultado anterior se obtienen dos valores para x:
x1=\frac{-2+6}{2}=2
x2=\frac{-2-6}{2}=-4
x^{2} +2x-8=(x-2)(x+4)=0