Question

la circunferencias mostradas son tangentes y sus rafios son 4 y 2 si AB=BC=CD calcule AD

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Circunferencia

$\textbf{Problema :}$

Las circunferencias mostradas son tangentes y sus radios son 4 y 2 Si AB = BC = CD calcule AD

RESOLUCIÓN

Convenientemente asumamos que la longitud de AD es $\textrm{AD} = 6 \textrm{n}$ y tracemos el radio de la circunferencia mayor, tal que esta corte al segmento $\overline{\textrm{AB}}$ en su punto medio, por teorema, si ocurre esto entonces el radio es perpendicular a $\overline{\textrm{AB}}$. Hacemos el mismo procedimiento para la circunferencia menor.

Luego unimos los centros de de ambas circunferencias, tenga en cuenta que el punto de tangencia y los centros de las circunferencias son colineales.

Haciendo $\textrm{KO} = x$ y $\textrm{QO'} = y$

Luego trazamos el segmento $\overline{\textrm{O'K}}$ tal que se forme el rectángulo $\textrm{O'QPK}$ Luego aplicamos el teorema de pitágoras para los triángulos $\triangle \textrm{OPF}$, $\triangle \textrm{DQO'}$ y $\triangle \textrm{KOO'}$

De esta forma se tiene el siguiente sistema de ecuaciones.

                                          $(x+y)^{2} + \textrm{n} ^{2} = 4^{2}$

                                          $y^{2} + \textrm{n} ^{2} = 2^{2}$

                                          $x^{2} + 16 \textrm{n}^{2} = 36$

De la primera ecuación.

                                       $x^{2} +2xy + y^{2} + \textrm{n} ^{2} = 16$

De la segunda ecuación $y^{2} + \textrm{n} ^{2} = 4$ entonces.

                                             $x^{2} +2xy + 4 = 16$

Entonces.

                                              $2xy = 12 - x^{2}$

Elevando al cuadrado.

                                          $4 \cdot x^{2} \cdot y^{2} = (12 - x^{2})^{2}$

De la tercera ecuación $12 - x^{2} = 16 \textrm{n} ^{2} -24$ y de la primera y segunda ecuación respectivamente $x^{2} = 36 - 16 \textrm{n}^{2}$ y $y^{2} = 2^{2} - \textrm{n} ^{2}$ Luego.

                           $4 \cdot (36 - 16 \textrm{n}^{2}) \cdot (2^{2} - \textrm{n} ^{2}) = (16 \textrm{n} ^{2} -24)^{2}$

Haciendo $k = \textrm{n}^{2}$

                             $4 \cdot (36 - 16k) \cdot (2^{2} - k) = (16k -24)^{2}$

Desarrollando y simplificando se tiene

                           $576-400k+64k^{2} = 256k^{2}-768k+576$

                                            $-192 k^{2} +368k = 0$

                                             $k(368-192k) = 0$

Se consigue $k = \dfrac{23}{12}$ es decir $\textrm{n}^{2} = \dfrac{23}{12}$ por tanto $n = \dfrac{\sqrt{69}}{6}$ y como la longitud del segmento $\textrm{AD}$ es $\textrm{AD} = 6 \textrm{n}$ entonces $\textrm{AD} = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{69}}{6} = \sqrt{69}$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{AD} = \sqrt{69}}$